Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.
Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.
Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.
Definice
Hamiltonova funkce mechanického systému s
stupni volnosti je definována vztahem:
,
kde
je Lagrangeova funkce systému a
na pravé straně jsou zobecněné rychlosti
vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic
, zobecněných hybností
a případně času
, tzn.
.
Vlastnosti
Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:
,
poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left[\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))_{i))}{\dot {q))_{i}\right)-L\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q))_{i}-L\right)={\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d761a4e706941aa916c288d7bee5785c5eb1e68)
Lagrangeovu funkci
lze získat z Hamiltonovy funkce
dosazením za
zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.
Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných
k proměnným
, se nazývá Legendreova duální transformace.
Hustota hamiltoniánu
Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem
![{\displaystyle H=\int {\mathcal {H))(q_{j}(\mathbf {x} ),p_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5f60d698074bd66b0981827870edc85a276060)