Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.
Definice
Pro konzervativní systém má lagrangián tvar
![{\displaystyle L=L(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q))_{1},{\dot {q))_{2},...,{\dot {q))_{m},t)=T(q_{1},q_{2},....q_{m},{\dot {q))_{1},{\dot {q))_{2},...,{\dot {q))_{m},t)-V(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d1eefa1ab954c68b94b3170f0652f7c8fcf4e9)
kde
jsou zobecněné souřadnice,
jsou zobecněné rychlosti,
je celková kinetická energie,
je potenciální energie a
je počet stupňů volnosti.
Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce
, tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru
. Pak:
[pozn. 1]
Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.
Vlastnosti
Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí
pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí
,
kde
je libovolná funkce polohy a času.
Hustota lagrangiánu
Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem
![{\displaystyle L=\int {\mathcal {L))(q_{j}(\mathbf {x} ),{\dot {q))_{j}(\mathbf {x} ),t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828fce26bfa37402ee7e0c00fc501c05f82b2b13)