Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.
Il simbolo di Legendre è definito come segue:
Se
è un numero primo dispari e
è un intero, allora il simbolo di Legendre
è uguale a:
se
divide
;
se
è un quadrato modulo
, ossia se esiste un intero
tale che
, o equivalentemente se
è un residuo quadratico modulo
;
se
non è un quadrato modulo
, cioè se
non è un residuo quadratico modulo
.
La generalizzazione del simbolo di Legendre a
con
dispari è il simbolo di Jacobi.
Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:
(cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
- Se a ≡ b (mod p), allora
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)=\left({\frac {b}{p))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c53d660aed6373e99b8e0feb7d9801186b2d41)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{p))\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1bc66bb06845bb4d2d3908f9ab3d72493874ce)
, cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
, cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
- Se q è un primo dispari, allora
![{\displaystyle \left({\frac {q}{p))\right)=\left({\frac {p}{q))\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2))\right)\left({\frac {q-1}{2))\right)))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40abf22add8cef182b5f21ac2a901ce94b413d1)
L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.
Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)\equiv a^{\left({\frac {p-1}{2))\right)}{\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6234fe771e2a6909b8b239d8a80c71e7e88f16)
Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.
Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero dispari composto al posto del primo p.
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
- H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3