Il simbolo di Jacobi è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri. Esso prende il nome dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi.
Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che utilizza la scomposizione in fattori primi dell'argomento inferiore. È definito come segue:
Sia n > 2 un numero naturale dispari e n =
. Per ogni intero a, il simbolo di Jacobi è
dove
con p primo è il simbolo di Legendre. Si conviene inoltre di porre
Il simbolo di Jacobi possiede alcune utili proprietà che consentono di velocizzare i calcoli rispetto all'uso diretto della definizione. Tra di esse si ricordano (si assuma che a e b siano interi e che m ed n siano interi positivi dispari):
- Se n è primo, il simbolo di Jacobi è evidentemente uguale al simbolo di Legendre.
![{\displaystyle \left({\frac {a}{n))\right)\in \{0,1,-1\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b88b8f28f1ec526377a3faf8e09aa8f79ef85b5)
se ![{\displaystyle (a,n)\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a9e80a7b1b765109967905125638d467ad99c2)
![{\displaystyle \left({\frac {ab}{n))\right)=\left({\frac {a}{n))\right)\left({\frac {b}{n))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721afb4c38cacb89beefb8481e46632d94541e9e)
![{\displaystyle \left({\frac {a}{mn))\right)=\left({\frac {a}{m))\right)\left({\frac {a}{n))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022f58309eff931b56de389c59ef0e270ad89486)
- Se a ≡ b (mod n), allora
![{\displaystyle \left({\frac {a}{n))\right)=\left({\frac {b}{n))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7648f6b5b6a0bf2c8509bdbec4088f003203a0fd)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{n))\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b2a3eef03e7519a37bc536daf9abd9e5dd86a5)
se ![{\displaystyle (a,n)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7662e475378af90c7fa9e936ab07d0685ef598ac)
= 1 se n ≡ 1 (mod 4) e −1 se n ≡ 3 (mod 4)
= 1 se n ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se n ≡ 3 o 5 (mod 8)
![{\displaystyle \left({\frac {m}{n))\right)=\left({\frac {n}{m))\right)(-1)^{\left({\frac {m-1}{2))\right)\left({\frac {n-1}{2))\right)))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c703b968e7d1baec3b2556c86fa345d513ba67f7)
L'ultima proprietà è molto simile alla legge di reciprocità quadratica per il simbolo di Legendre.
Se
, allora a non è un residuo quadratico di n perché non è un residuo quadratico di qualche fattore di n. Inoltre, se
, allora
. Tuttavia, se
non si può dedurre che a sia un residuo quadratico di n perché è possibile che un numero pari di fattori di n siano non-residui, e quindi il prodotto dei loro simboli di Legendre valga ugualmente 1.
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Capitolo 9.7)