In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con
i numeri naturali tali che
![{\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33999e949705a26abc541e3024bec37b0e38cf5a)
Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:
![{\displaystyle C_{1}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f064f11fbd394c7127f80f3a5a4399ac556d30c9)
![{\displaystyle C_{2}=9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040fd835c93d3d01f9ff3f541f5bb3744903c2e3)
![{\displaystyle C_{3}=25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93daf8fbe8124bf93d9e036147bebc090ecff6e9)
![{\displaystyle C_{4}=65}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c84100f2dab86421538b6d42161564c9e007bd)
![{\displaystyle C_{5}=161}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e71251355c813fc07347d12bce635bf6bccef7)
![{\displaystyle C_{6}=385}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d604a5c2ec2d86682a9de93b228079bfb3128a6)
![{\displaystyle C_{7}=897}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1817e0e402938e92f00a12c3f6a3f8943fafb1c5)
(sequenza A002064 dell'OEIS).
I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Cullen. I primi valori di
che rendono primi i numeri di Cullen sono
(sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono
![{\displaystyle C_{1}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f064f11fbd394c7127f80f3a5a4399ac556d30c9)
![{\displaystyle C_{141}=393050634124102232869567034555427371542904833\approx 3{,}93\cdot 10^{44))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfec4c73e58c137eb6167c9feaf74cfb73d6471)
A gennaio 2019, il numero
più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è
e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.
Un numero di Cullen è divisibile per
se
è un numero primo di forma
. Inoltre, grazie al piccolo teorema di Fermat, sappiamo che
sarà un numero dispari, e ne segue che
divide anche
per ogni
per ogni
positivo.
È stato inoltre dimostrato che
divide il numero
![{\displaystyle C_{\frac {p+1}{2)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd2bf4c66960780e5da7b276e7764bc5a125860)
quando simbolo di Jacobi
è
e divide
![{\displaystyle C_{\frac {3p-1}{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efd80baf0c7213805cb11890d779657756db789)
se il simbolo di Jacobi
è
Un numero di forma
![{\displaystyle C_{n}=n\cdot b^{n}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c904ac90ba0209edd52699a7ea392fdfb12cb267)
è chiamato numero di Cullen generalizzato.