Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali .
Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione , duplicazione , addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti .
Valori esatti di seno e coseno per angoli multipli di 3 gradi. I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni .
sin
0
∘
=
0
{\displaystyle \sin 0^{\circ }=0}
cos
0
∘
=
1
{\displaystyle \cos 0^{\circ }=1}
tan
0
∘
=
0
{\displaystyle \tan 0^{\circ }=0}
sin
π
60
=
sin
3
∘
=
2
5
+
5
(
1
−
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
3
+
1
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60))=\sin 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))\,(1-{\sqrt {3)))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))-1)({\sqrt {3))+1)}{16))}
cos
π
60
=
cos
3
∘
=
2
5
+
5
(
1
+
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
3
−
1
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60))=\cos 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))\,(1+{\sqrt {3)))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))-1)({\sqrt {3))-1)}{16))}
tan
π
60
=
tan
3
∘
=
[
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
(
2
−
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60))=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3)))(3+{\sqrt {5)))-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5)))))\right)}{4))}
sin
π
30
=
sin
6
∘
=
6
(
5
−
5
)
−
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30))=\sin 6^{\circ }={\frac ((\sqrt {6(5-{\sqrt {5)))))-({\sqrt {5))+1)}{8))}
cos
π
30
=
cos
6
∘
=
2
(
5
−
5
)
+
3
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30))=\cos 6^{\circ }={\frac ((\sqrt {2(5-{\sqrt {5)))))+{\sqrt {3))({\sqrt {5))+1)}{8))}
tan
π
30
=
tan
6
∘
=
(
5
−
2
5
)
(
5
+
1
)
+
3
(
1
−
5
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30))=\tan 6^{\circ }={\frac ((\sqrt {())5-2{\sqrt {5)))({\sqrt {5))+1)+{\sqrt {3))(1-{\sqrt {5)))}{2))}
sin
π
20
=
sin
9
∘
=
−
2
5
−
5
+
2
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20))=\sin 9^{\circ }={\frac {-2{\sqrt {5-{\sqrt {5))))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))+1)}{8))}
cos
π
20
=
cos
9
∘
=
+
2
5
−
5
+
2
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20))=\cos 9^{\circ }={\frac {+2{\sqrt {5-{\sqrt {5))))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))+1)}{8))}
tan
π
20
=
tan
9
∘
=
−
5
−
2
5
(
2
+
5
)
+
(
5
+
1
)
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20))=\tan 9^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5))))\;(2+{\sqrt {5)))+({\sqrt {5))+1)}
sin
π
15
=
sin
12
∘
=
2
(
5
+
5
)
−
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15))=\sin 12^{\circ }={\frac ((\sqrt {2(5+{\sqrt {5)))))-{\sqrt {3))({\sqrt {5))-1)}{8))}
cos
π
15
=
cos
12
∘
=
6
(
5
+
5
)
+
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15))=\cos 12^{\circ }={\frac ((\sqrt {6(5+{\sqrt {5)))))+({\sqrt {5))-1)}{8))}
tan
π
15
=
tan
12
∘
=
5
−
2
5
(
2
+
5
)
+
(
5
+
1
)
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15))=\tan 12^{\circ }={\frac ((\sqrt {5-2{\sqrt {5))))(2+{\sqrt {5)))+({\sqrt {5))+1)}{2))}
sin
π
12
=
sin
15
∘
=
2
⋅
(
3
−
1
)
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12))=\sin 15^{\circ }={\frac ((\sqrt {2))\cdot \left({\sqrt {3))-1\right)}{4))}
cos
π
12
=
cos
15
∘
=
2
⋅
(
3
+
1
)
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12))=\cos 15^{\circ }={\frac ((\sqrt {2))\cdot \left({\sqrt {3))+1\right)}{4))}
tan
π
12
=
tan
15
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12))=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3))}
cot
π
12
=
cot
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12))=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3))}
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
5
−
1
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10))=\sin 18^{\circ }={\frac ((\sqrt {5))-1}{4))}
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
2
(
5
+
5
)
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10))=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5))))){4))}
tan
π
10
=
tan
18
∘
=
5
(
5
−
2
5
)
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10))=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5))))){5))}
cot
π
10
=
cot
18
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10))=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))}
sin
7
π
60
=
sin
21
∘
=
2
5
−
5
(
3
+
1
)
−
2
(
3
−
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60))=\sin 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5))))\,({\sqrt {3))+1)-{\sqrt {2))({\sqrt {3))-1)(1+{\sqrt {5)))}{16))}
cos
7
π
60
=
cos
21
∘
=
2
5
−
5
(
3
−
1
)
+
2
(
3
+
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60))=\cos 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5))))\,({\sqrt {3))-1)+{\sqrt {2))({\sqrt {3))+1)(1+{\sqrt {5)))}{16))}
tan
7
π
60
=
tan
21
∘
=
5
−
2
5
(
1
+
2
3
−
5
)
+
(
2
+
3
)
(
5
−
3
)
+
2
2
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60))=\tan 21^{\circ }={\frac ((\sqrt {5-2{\sqrt {5))))\,(1+2{\sqrt {3))-{\sqrt {5)))+(2+{\sqrt {3)))({\sqrt {5))-3)+2}{2))}
sin
π
8
=
sin
22.5
∘
=
2
−
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8))=\sin 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2)))){2))}
cos
π
8
=
cos
22.5
∘
=
2
+
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8))=\cos 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2)))){2))}
tan
π
8
=
tan
22.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8))=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2))-1}
cot
π
8
=
cot
22.5
∘
=
2
+
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8))=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2))+1}
sin
24
∘
=
2
(
5
+
5
)
(
1
−
5
)
+
2
3
(
1
+
5
)
)
16
{\displaystyle \sin 24^{\circ }={\frac ((\sqrt {2(5+{\sqrt {5)))))\,(1-{\sqrt {5)))+2{\sqrt {3))(1+{\sqrt {5))))}{16))}
cos
24
∘
=
6
(
5
+
5
)
(
5
−
1
)
+
2
(
1
+
5
)
)
16
{\displaystyle \cos 24^{\circ }={\frac ((\sqrt {6(5+{\sqrt {5)))))\,({\sqrt {5))-1)+2(1+{\sqrt {5))))}{16))}
tan
24
∘
=
(
10
+
2
5
−
2
3
)
(
3
+
5
)
4
{\displaystyle \tan 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5))))-2{\sqrt {3))\right)\,(3+{\sqrt {5)))}{4))}
cot
24
∘
=
(
10
+
2
5
+
2
3
)
(
5
−
1
)
4
{\displaystyle {\mbox{cot))\,24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5))))+2{\sqrt {3))\right)\,({\sqrt {5))-1)}{4))}
sin
27
∘
=
2
5
+
5
+
2
(
1
−
5
)
8
{\displaystyle \sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2))(1-{\sqrt {5)))}{8))}
cos
27
∘
=
2
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle \cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))-1)}{8))}
tan
27
∘
=
−
5
−
2
5
+
(
5
−
1
)
{\displaystyle \tan 27^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5))))+({\sqrt {5))-1)}
sin
π
6
=
sin
30
∘
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6))=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2))}
cos
π
6
=
cos
30
∘
=
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6))=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3)){2))}
tan
π
6
=
tan
30
∘
=
3
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6))=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3)){3))}
cot
π
6
=
cot
30
∘
=
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6))=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3))}
sin
33
∘
=
2
5
+
5
(
−
1
+
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
1
+
3
)
16
{\displaystyle \sin 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))\,(-1+{\sqrt {3)))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))-1)(1+{\sqrt {3)))}{16))}
cos
33
∘
=
2
5
+
5
(
+
1
+
3
)
+
2
(
5
−
1
)
(
1
−
3
)
16
{\displaystyle \cos 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))\,(+1+{\sqrt {3)))+{\sqrt {2))({\sqrt {5))-1)(1-{\sqrt {3)))}{16))}
tan
33
∘
=
5
(
5
−
2
5
)
(
−
15
+
10
3
−
7
5
+
4
15
)
+
5
(
(
−
2
+
3
)
(
3
+
5
)
+
2
)
10
{\displaystyle \tan 33^{\circ }={\frac ((\sqrt {5(5-2{\sqrt {5)))))\,\left(-15+10{\sqrt {3))-7{\sqrt {5))+4{\sqrt {15))\right)+5\left((-2+{\sqrt {3)))(3+{\sqrt {5)))+2\right)}{10))}
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
2
(
5
−
5
)
4
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5))=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5))))){4))}
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5))=\cos 36^{\circ }={\frac ((\sqrt {5))+1}{4))}
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
)
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5))=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5)))))}
sin
39
∘
=
2
5
−
5
(
1
−
3
)
+
2
(
+
1
+
3
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \sin 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5))))\,(1-{\sqrt {3)))+{\sqrt {2))(+1+{\sqrt {3)))(1+{\sqrt {5)))}{16))}
cos
39
∘
=
2
5
−
5
(
1
+
3
)
+
2
(
−
1
+
3
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5))))\,(1+{\sqrt {3)))+{\sqrt {2))\,(-1+{\sqrt {3)))(1+{\sqrt {5)))}{16))}
tan
39
∘
=
(
2
(
5
+
5
)
−
2
)
(
(
2
−
3
)
(
−
3
+
5
)
+
2
)
4
{\displaystyle \tan 39^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5)))))-2\right)\left((2-{\sqrt {3)))(-3+{\sqrt {5)))+2\right)}{4))}
sin
42
∘
=
6
(
5
−
5
)
(
1
+
5
)
+
2
(
1
−
5
)
16
{\displaystyle \sin 42^{\circ }={\frac ((\sqrt {6(5-{\sqrt {5)))))\;(1+{\sqrt {5)))+2(1-{\sqrt {5)))}{16))}
cos
42
∘
=
2
(
5
−
5
)
(
1
+
5
)
+
2
3
(
−
1
+
5
)
16
{\displaystyle \cos 42^{\circ }={\frac ((\sqrt {2(5-{\sqrt {5)))))\;(1+{\sqrt {5)))+2{\sqrt {3))(-1+{\sqrt {5)))}{16))}
tan
42
∘
=
−
1
−
2
1
(
3
+
5
)
+
3
(
1
+
5
)
2
{\displaystyle \tan 42^{\circ }={\frac {-{\sqrt {1-2{\sqrt {1))))\;(3+{\sqrt {5)))+{\sqrt {3))(1+{\sqrt {5)))}{2))}
sin
π
4
=
sin
45
∘
=
2
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4))=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2)){2))}
cos
π
4
=
cos
45
∘
=
2
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4))=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2)){2))}
tan
π
4
=
tan
45
∘
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4))=\tan 45^{\circ }=1}
cot
π
4
=
cot
45
∘
=
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4))=\cot 45^{\circ }=1}
Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:
V
=
5
e
3
cos
36
∘
/
tan
2
36
∘
{\displaystyle V=5e^{3}\cos 36^{\circ }/\tan ^{2}36^{\circ ))
Usando
cos
36
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos \,36^{\circ }={\frac ((\sqrt {5))+1}{4))}
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan \,36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))}
l'espressione precedente può essere semplificata nella:
V
=
e
3
(
15
+
7
5
)
4
{\displaystyle V={\frac {e^{3}(15+7{\sqrt {5)))}{4))}
La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V , il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C ), 90° (vertice M ) e 90°-180°/N (vertice V ).
Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.
Costruibili
Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,...
30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati)
60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati)
75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati)
82.5°-7.5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati)
86.25°-3.75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati)
...
4*2X lati
45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
...
5*2X lati
54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
85.5°-4.5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
87.75°-2.25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
...
15*2X lati
78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati)
84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati)
87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
88.5°-1.5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
89.25°-0.75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
9*2X lati
70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati)
80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati)
85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati)
87.5°-2.5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati)
...
45*2X lati
86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati)
88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati)
89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
89.5°-0.5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)
... La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio , non è banale e non sempre può essere effettuata.
Esempio:
4
sin
18
∘
=
2
(
3
−
5
)
=
5
−
1
{\displaystyle 4\sin 18^{\circ }={\sqrt {2(3-{\sqrt {5)))))={\sqrt {5))-1}
Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti.
Però si ha
a
+
b
c
=
d
+
e
c
se
a
2
−
b
2
c
{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c))))=d+e{\sqrt {c))\quad {\mbox{se))\quad a^{2}-b^{2}c}
quadrato perfetto 
![{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60))=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3)))(3+{\sqrt {5)))-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5)))))\right)}{4))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6d2938055cf3b9bd583e9da38e9fb9ea6ef81f)
