In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.^[1]

Ströme und normale Ströme

Ströme

Definition

Ein ${\displaystyle m}$-dimensionaler Strom oder ${\displaystyle m}$-Strom in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ ist ein stetiges, lineares Funktional auf ${\displaystyle {\mathcal {D))^{m}(\mathbb {R} ^{n}):=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\Lambda ^{m}\mathbb {R} ^{n})}$. Die Menge der ${\displaystyle m}$-dimensionalen Ströme auf ${\displaystyle O}$ wird mit ${\displaystyle {\mathcal {D))_{m}(O)}$ bezeichnet.

Mit ${\displaystyle \Lambda ^{m}\mathbb {R} ^{n))$ wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass ${\displaystyle {\mathcal {D))^{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ der Raum der ${\displaystyle m}$-Formen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums ${\displaystyle {\mathcal {D))_{m))$.

Eigenschaften

Eine Folge ${\displaystyle (T_{i})_{i\in \mathbb {N} ))$ in ${\displaystyle {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ konvergiert schwach gegen einen Strom ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$, wenn ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }T_{i}(\omega )=T(\omega )}$ für alle ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {D))^{m}(\mathbb {R} ^{n})}$; wir scheiben ${\displaystyle T_{i}\rightharpoonup T}$. Der Träger ${\displaystyle \operatorname {supp} T}$ eines Stromes ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n))$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle T(\omega )=0}$ für alle ${\displaystyle \omega \in {\mathcal {D))^{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ mit ${\displaystyle \operatorname {supp} \omega \cap C=\emptyset }$.

Rand eines Stromes

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n}),m\geq 1}$. Der Rand von ${\displaystyle T}$ ist der Strom ${\displaystyle \partial T\in {\mathcal {D))_{m-1}(\mathbb {R} ^{n})}$, welcher durch ${\displaystyle \partial T(\pi ):=T(d\pi )}$ für alle ${\displaystyle \pi \in {\mathcal {D))^{m-1}(\mathbb {R} ^{n})}$ definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt ${\displaystyle \partial \circ \partial =0}$, weil ${\displaystyle d\circ d=0}$, ${\displaystyle \operatorname {supp} \partial T\subset \operatorname {supp} T}$, und ${\displaystyle T_{i}\rightharpoonup T}$ impliziert ${\displaystyle \partial T_{i}\rightharpoonup \partial T}$.

Masse

Seien, ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$. Für ${\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{n))$ offen und ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n))$ beliebig. Man setze

${\displaystyle \|T\|(U):=\sup\{T(\omega ):\operatorname {supp} \omega \subset U,\sup _{x}\|w\|\leq 1\))$ und ${\displaystyle \|T\|(A):=\inf\{\|T\|(U):A\subset U\))$.

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß ${\displaystyle \|T\|}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$. Wir definieren die Masse von ${\displaystyle T}$ durch ${\displaystyle \mathbf {M} (T)=\|T\|(\mathbb {R} ^{n})\in [0,\infty ]}$. Den Vektorraum aller ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ mit ${\displaystyle \mathbf {M} (T)<\infty }$ bezeichnen wir mit ${\displaystyle \mathbf {M} _{m}(T)}$. Ein Strom ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ hat lokal endliche Masse, falls ${\displaystyle \|T\|}$ ein Radon-Maß ist, also falls ${\displaystyle \|T\|}$ endlich auf kompakten Mengen ist, und ${\displaystyle \mathbf {M} _{m,\mathrm {loc} }(T)}$ bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.^[2]

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n}),m\geq 1}$. Man setze ${\displaystyle \mathbf {N} (T):=\mathbf {M} (T)+\mathbf {M} (\partial T)}$. Wir nennen ${\displaystyle T}$ normal, falls ${\displaystyle \mathbf {N} (T)<\infty }$ und lokal-normal, falls ${\displaystyle \|T\|+\|\partial T\|}$ ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit ${\displaystyle \mathbf {N} _{m}(T)}$ und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit ${\displaystyle \mathbf {N} _{m,\mathrm {loc} }(T)}$.

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝⁿ

Konstanzsatz

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n))$ offen und zusammenhängend, ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle \operatorname {supp} \partial T\subset \mathbb {R} ^{n}\setminus U}$. Dann existiert eine Konstante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, sodass ${\displaystyle \operatorname {supp} (T-c[U])\cap U=\emptyset }$.

Hier ist ${\displaystyle [U]:=[U,e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n}]}$, also ${\displaystyle [U](\omega )=\int \langle e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n},\omega \rangle \,dx=\int f\,dx}$ für ${\displaystyle \omega =fdx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}\in {\mathcal {D))^{n}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Charakterisierung von N_m,loc(T)

Sei ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$. Dann ist ${\displaystyle T\in \mathbf {N} _{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$ dann und nur dann, wenn ${\displaystyle T=[\mathbb {R} ^{n}]\llcorner u}$ für ein ${\displaystyle u\in \mathrm {BV} _{\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$, in welchem Fall ${\displaystyle \|\partial T\|=\vert Du\vert }$ ist. Hier bezeichnet ${\displaystyle \mathrm {BV} _{\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$ die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

Sei ${\displaystyle {\mathcal {H))^{m))$ das Hausdorff-Maß auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$. Ein Strom ${\displaystyle T\in {\mathcal {D))_{m}(\mathbb {R} ^{n})}$ heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

${\displaystyle T(\omega )=\int _{E}\langle \tau (x),\omega (x)\rangle i\theta (x)d{\mathcal {H))^{m}(x),}$ wobei

1. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n))$ abzählbar ${\displaystyle {\mathcal {H))^{m))$-rektifizierbar und eine ${\displaystyle {\mathcal {H))^{m))$-messbare Menge ist,
2. ${\displaystyle \theta }$ eine lokale ${\displaystyle {\mathcal {H))^{m))$-integrierbare natürliche Funktion auf ${\displaystyle E}$ ist,
3. ${\displaystyle \tau }$ eine ${\displaystyle {\mathcal {H))^{m))$-messbare ${\displaystyle \Lambda _{m}\mathbb {R} ^{n))$-wertige Funktion auf ${\displaystyle E}$, sodass für ${\displaystyle {\mathcal {H))^{m))$-fast überall ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle \tau (x)}$ ist einfach, ${\displaystyle \vert \tau (x)\vert <1}$, und ${\displaystyle \tau (x)}$ bezeichnet den approximierten Tangentialraum ${\displaystyle \mathrm {Tan} ^{m}(E,x)\in G(n,m)}$.

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$wird mit ${\displaystyle {\mathcal {I))_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$ bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ ist eine Element von ${\displaystyle {\mathcal {I))_{m}(\mathbb {R} ^{n}):={\mathcal {I))_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})\cap \mathbf {M} _{m}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Integralstrom

Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ ist definiert durch ${\displaystyle \mathbf {I} _{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n}):=\{T\in {\mathcal {I))_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n}):\partial T\in {\mathcal {I))_{m-1,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})\))$ für ${\displaystyle m\geq 1}$ und ${\displaystyle \mathbf {I} _{0,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n}):={\mathcal {I))_{0,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$. Ein Integralstrom in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ ist ein Element von ${\displaystyle \mathbf {I} _{m}(\mathbb {R} ^{n}):=\mathbf {I} _{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})\cap \mathbf {N} _{m}(\mathbb {R} ^{n})}$. Weiter bezeichnen wir ${\displaystyle \mathbf {I} _{m.c}(\mathbb {R} ^{n}):=\{T\in \mathbf {I} _{m}(\mathbb {R} ^{n}):\operatorname {supp} T{\text{ ist kompakt))\))$.

Minimierung von Strömen

Ein Strom ${\displaystyle T\in {\displaystyle {\mathcal {I))_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})))$ heißt minimierbar wenn ${\displaystyle \mathbf {M} (T\,\llcorner \,K)\leq \mathbf {M} (T')}$ für jede kompakte Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n))$ und jedes ${\displaystyle T'\in {\mathcal {I))_{m,\mathrm {loc} }(\mathbb {R} ^{n})}$ mit kompaktem Träger und Rand ${\displaystyle \partial T'=\partial (T\llcorner \,K)}$.