Eine glatte Funktion ist eine mathematische Funktion, die beliebig oft differenzierbar ist. Die Bezeichnung „glatt“ ist durch die Anschauung motiviert: Der Graph einer glatten Funktion hat keine „Ecken“, also Stellen, an denen sie nicht differenzierbar ist. Damit wirkt der Graph überall „besonders glatt“. Zum Beispiel ist jede holomorphe Funktion auch eine glatte Funktion. Außerdem werden glatte Funktionen als Abschneidefunktionen oder als Testfunktionen für Distributionen verwendet.
Für eine nichtleere, offene Teilmenge bezeichnet man die Menge der Funktionen , die auf ganz stetig sind, mit , oder . Entsprechend wird die Menge der einmal stetig differenzierbaren Funktionen mit bezeichnet und für jede natürliche Zahl wird die Menge der -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit bezeichnet.
Die Menge der -mal stetig differenzierbaren Funktion wird rekursiv durch
definiert. Es gilt stets
Eine Funktion heißt unendlich oft (stetig) differenzierbar oder glatt, wenn für alle gilt. Die Menge aller glatten Funktionen auf wird mit notiert und es gilt
Diese Beschreibung ist insbesondere für topologische Betrachtungen nützlich.
Ohne Schwierigkeiten lässt sich der Begriff der glatten Funktion auf allgemeinere Fälle übertragen. Es heißt, eine Funktion ist unendlich oft differenzierbar beziehungsweise glatt, wenn alle partiellen Ableitungen unendlich oft differenzierbar sind. Auch werden glatte Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definiert und untersucht.
Diese beiden letzten Beispiele sind wichtige Hilfsmittel zur Konstruktion von Beispielen von glatten Funktionen mit besonderen Eigenschaften. Auf folgende Weise kann man eine glatte Zerlegung der Eins (hier: von ) konstruieren:
Sei eine offene Teilmenge. Auf dem Raum der glatten Funktionen wird insbesondere in der Distributionentheorie eine Topologie erklärt. Die Familie von Halbnormen
mit und durchläuft alle Kompakta, macht den Raum der glatten Funktionen zu einem lokal-konvexen Raum. Dieser ist vollständig und damit ein Fréchet-Raum. Da außerdem jede abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, ist dies sogar ein Montel-Raum. Der Raum der glatten Funktionen zusammen mit dieser lokal-konvexen Topologie wird meist mit bezeichnet.