Ein Extremalpunkt einer konvexen MengeK eines reellenVektorraums ist ein Punkt x aus K, der sich nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K darstellen lässt, also zwischen keinen zwei anderen Punkten aus K liegt. Das heißt, es gibt keine Punkte mit für ein .
Die positiven Funktionale mit Norm 1 einer kommutativen C*-Algebra bilden eine konvexe Menge. Die Extremalpunkte sind genau die multiplikativen Funktionale.
Nach dem Satz von Birkhoff und von Neumann sind die Permutationsmatrizen genau die Extremalpunkte der doppelt-stochastischen Matrizen.
In vielen Situationen gelingen Charakterisierungen von Extremalpunkten als Objekte mit besonderen Eigenschaften wie im Beispiel 3. Der Satz von Krein-Milman führt dann zu Sätzen über die Existenz solcher Objekte.
In der Choquet-Theorie wird die Vorstellung, dass ein Punkt einer konvexen Menge als Mittelung über deren Extremalpunkte darstellbar ist, präzisiert.
Die Menge der Extremalpunkte ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen. Ein dreidimensionales Beispiel erhält man durch das Zusammenfügen zweier schiefer Kegel zu einem Doppelkegel, so dass die Verbindungsstrecke zwischen den Spitzen und (siehe nebenstehende Skizze) auf den Mantelflächen verläuft und die gemeinsame Kreislinie in einem Punkt trifft. Die Menge der Extremalpunkte dieses Doppelkegels besteht aus den Kegelspitzen und und allen Punkten der Kreislinie ohne , denn dieser Punkt lässt sich ja aus und konvex kombinieren. liegt aber im Abschluss der Extremalpunktmenge.
Im unendlichdimensionalen Fall kann die Menge der Extremalpunkte dicht liegen. Ein einfaches Beispiel ist die Einheitskugel in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum mit der schwachen Topologie (bezüglich dieser ist kompakt).
Die Extremalpunktmenge ist die Menge aller Vektoren mit Länge 1.
Um zu sehen, dass die Extremalpunktmenge dicht in liegt, sei ein Vektor mit und eine schwache Umgebung von . Dann gibt es Vektoren und ein mit . Da unendlichdimensional ist, gibt es einen zu den orthogonalen Vektor und dann ein , so dass der Vektor die Länge 1 hat und folglich ein Extremalpunkt ist. Da , folgt . Damit ist gezeigt, dass jede schwache Umgebung eines Vektors der Länge < 1 einen Extremalpunkt enthält. Daher fällt der Abschluss der Extremalpunktmenge mit zusammen.
Die Definition eines Extremalpunktes lässt sich auf natürliche Weise auf Mengen übertragen: Eine extremale Menge ist eine Teilmenge einer konvexen Menge mit der Eigenschaft, dass sich Punkte aus dieser Menge nur dann als Konvexkombination von Punkten aus der konvexen Menge darstellen lassen, wenn diese Punkte bereits in der Teilmenge selbst enthalten sind. Formal:
Sei ein Vektorraum, konvex und . Dann ist eine extremale Menge, falls gilt:
Typische Beispiele sind Seiten oder Kanten von Polyedern. Ein oft benutzter Satz ist, dass Extremalpunkte von extremalen Mengen bereits Extremalpunkte der umgebenden konvexen Menge sind.