Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d. h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen.
Es sei
eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf
die Topologie, unter der alle Teilmengen von
offen sind. Ein Raum, der die diskrete Topologie trägt, heißt diskret.
Das heißt,
trägt gerade die Potenzmenge
als Topologie.
Teilmengen
topologischer Räume
heißen diskret, wenn sie mit der Teilraumtopologie diskret sind. Das ist äquivalent dazu, dass es zu jedem Punkt
eine Umgebung
von
gibt, die
als einzigen Punkt von
enthält, d. h.
.
- Ein topologischer Raum
ist genau dann diskret, wenn für jeden Punkt
die Menge
offen ist.
- In einem diskreten topologischen Raum
ist der Umgebungsfilter eines jeden Punktes
die Menge aller Teilmengen
mit
Er ist ein Ultrafilter.
- In einem diskreten topologischen Raum
ist der Filter
genau dann konvergent, wenn er der Umgebungsfilter eines Punktes
ist. Dieser Punkt
ist dann der Limespunkt des Filters ![{\displaystyle {\mathcal {F)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1656ae73ede684468b360e948a8a38e6e2c461)
- Eine Folge
aus einem diskreten topologischen Raum konvergiert dann und nur dann, wenn sie ab einem bestimmten Folgenglied konstant wird (m. a. W. stationär ist).
- Diskrete Räume sind stets hausdorffsch. Sie sind genau dann kompakt, wenn sie nur endlich viele Punkte enthalten.
- Diskrete Räume sind lokalkompakt.
- Das kartesische Produkt endlich vieler diskreter topologischer Räume ist wieder diskret.
- Diskrete Räume sind total unzusammenhängend: Jedweder Teilraum mit mindestens zwei Elementen ist unzusammenhängend, zerfällt also in (mindestens) zwei disjunkte offene Mengen.
- Diskrete Räume sind 0-dimensional, sowohl bzgl. der kleinen und großen induktiven Dimension als auch bzgl. der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension.
- Jede Abbildung von einem diskreten topologischen Raum
in einen beliebigen topologischen Raum
ist stetig.
- Eine stetige Abbildung von einem topologischen Raum
in einen diskreten topologischen Raum
ist lokal konstant.
Ein diskreter topologischer Raum
lässt sich mit einer diskreten Metrik[1]
![{\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u))r} \ x=y\\1&\mathrm {f{\ddot {u))r} \ x\neq y\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f727039b1e4d446e7d573a78916fca6066a131)
ausstatten, die die diskrete Topologie induziert.
Die Ausstattung mit dieser Metrik bietet keinen wesentlichen Informationsgewinn.
Immerhin werden durch sie Begriffe wie Cauchy-Folge und Vollständigkeit anwendbar.
Die Erfüllung der positiven Definitheit und der Symmetrie ist unmittelbar aus der Definition ersichtlich.
Für den Nachweis der Dreiecksungleichung
![{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5d6179f9dbf3ce34351feebb3698e28c973719)
sind zwei Fälle zu unterscheiden:
- Ist
so ist die linke Seite gleich 0 und die Ungleichung sicher erfüllt.
- Ist
, so muss
oder
sein, da
nicht mit zwei verschiedenen Elementen übereinstimmen kann. Das heißt, dass wenigstens eine der beiden Zahlen
oder
gleich 1 sein muss, weshalb
![{\displaystyle d(x,y)=1\leq d(x,z)+d(z,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55832e8dcb8fd9c54985fe983ce9b16bd4be234b)
- gilt.
Überdies ist
eine Ultrametrik, denn
ist nur bei
und damit nur bei der Gleichheit
möglich.
In allen anderen Fällen ist
so dass die verschärfte Dreiecksungleichung
![{\displaystyle d(x,y)\leq \max\{d(x,z),d(z,y)\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76312023f974ef78d447d7dc51f7171ac517867f)
für alle
gilt.
Bei einer gleichmäßig diskreten Metrik ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn sie stationär ist.
Jeder mit einer gleichmäßig diskreten Metrik ausgestattete metrische Raum ist vollständig, das heißt: jede Cauchy-Folge konvergiert.
Sei
der mit der Betragsmetrik ausgestattete metrische Raum
Zu jedem Punkt
gibt es die Umgebung
![{\displaystyle {\bigl \{}x\in M\;{\big |}\;|x-{\tfrac {1}{m))|<{\tfrac {1}{m^{2}+m)){\bigr \))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66d86c5a21ee6b770a9731469b49b92c38f633c)
aller Punkte, die näher bei
liegen als der Punkt
Sie besteht nur aus dem einen Punkt
Somit sind alle Punkte
isoliert, und die durch
induzierte Topologie ist ebenfalls die diskrete.
Andererseits gibt es zu jedem
ein
und einen Punkt
derart, dass für alle
weshalb die Diskretheit der Metrik keine gleichmäßige ist.
Außerdem ist festzuhalten, dass die Folge
eine Cauchy-Folge ist, die keinen Grenzwert in
hat. Denn
trägt als Teilraum der reellen Zahlen
die Teilraumtopologie, und in
hat
den Grenzwert 0, den es in
nicht gibt.
Aus kategorientheoretischer Sicht ist die diskrete Topologie auf einer Menge die freie Topologie auf dieser Menge. Dazu betrachte man den Funktor
von der Kategorie aller Mengen (mit allen Mengenabbildungen als Morphismen) in die Kategorie aller topologischen Räume (mit allen stetigen Abbildungen als Morphismen), welcher jeder Menge
den diskreten Topologischen Raum
zuweist und jeder Mengenabbildung dieselbe Abbildung zwischen den zugehörigen diskreten Räumen. Dieser Funktor ist nun linksadjungiert zum Vergissfunktor
. Üblicherweise werden die Bilder von Mengen unter solchen Funktoren jedoch als freie Konstruktionen bezeichnet, beispielsweise freie Gruppen, freie abelsche Gruppen, freie Moduln. In ähnlicher Weise ist die indiskrete Topologie als Funktor rechtsadjungiert zum oben genannten Vergissfunktor. Das heißt, die indiskrete Topologie ist der duale Begriff zur diskreten Topologie.
- ↑ Cigler und Reichel