Eine Basis ist in der mengentheoretischen Topologie, einer Grundlagendisziplin der Mathematik, ein Mengensystem von offenen Mengen mit gewissen Eigenschaften. Über Basen lassen sich topologische Räume einfach definieren und klassifizieren. So erfüllen topologische Räume, die abzählbare Basen haben, das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Sie können im topologischen Sinn als „klein“ gelten.
Gegeben sei ein topologischer Raum
, also eine Menge
und ein Mengensystem aus offenen Mengen
. Es gelte die Konvention
![{\displaystyle \bigcup _{i\in \emptyset }M_{i}=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74bea983f592d859041faa543176c07ceb10438)
Eine Menge
heißt eine Basis der Topologie, wenn sich jede offene Menge
als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus
schreiben lässt.
Für jeden beliebigen topologischen Raum
bildet die Topologie selbst eine Basis
.
Für die triviale Topologie
ist
![{\displaystyle {\mathcal {B))_{2}:=\{X\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e328347b3dd144916dc528d7d2c370f477b2be0)
eine Basis. Dies folgt aus der oben angeführten Konvention über die Vereinigung über eine leere Indexmenge.
Für die diskrete Topologie
bilden die Punktmengen eine Basis:
![{\displaystyle {\mathcal {B))_{3}:=\{\{x\}\mid x\in X\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ac36b7373b77d09b9c4e18bfa7abf3e5fe350e)
Die natürliche Topologie auf
besitzt (per Definition) die Basis
.
Ebenso besitzt die natürliche Topologie auf einem metrischen Raum
(per Definition) die Basis
.
Hierbei ist
![{\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in X\mid d(y,x)<r\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9c88bd6caa560552b94c422283a1be659bbcc0)
die offene Kugel um
mit Radius
.
Eine Basis eines topologischen Raumes ist nicht eindeutig bestimmt. Dies wird an der Basis für die diskrete Topologie klar: Hier sind einerseits die Punktmengen bereits ausreichend, um eine Basis zu bilden. Andererseits bildet nach dem ersten Beispiel die gesamte Topologie eine Basis, in diesem Falle die Potenzmenge. Diese ist aber fast immer deutlich größer als die Menge, die nur die Punktmengen enthält.
Im Gegensatz dazu bestimmt eine Basis eine Topologie eindeutig, sprich ist
eine Basis sowohl von
als auch von
, so ist
.
Die Tatsache, dass eine Basis die Topologie eindeutig bestimmt, kann zur Konstruktion von Topologien genutzt werden. Dafür erklärt man ein Mengensystem, das gewisse Voraussetzungen erfüllt, zur Basis. Genauer gilt:
- Ist
ein beliebiges Mengensystem von Teilmengen von
, für das gilt:
- Die Vereinigung aller Mengen aus
ist gleich der Menge
.
- Jeder Schnitt zweier Mengen aus
lässt sich als Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen aus
schreiben.
- Dann ist
Basis einer eindeutig bestimmten Topologie auf
.
Die offenen Mengen in der so erzeugten Topologie sind dann genau diejenigen Mengen, die sich als Vereinigung von Mengen aus
darstellen lassen.
- Jede topologische Basis von
ist eine Subbasis von
, der Basisbegriff verschärft also den Begriff Subbasis.
- Der Begriff der topologischen Basis ist nicht zu verwechseln mit der Basis eines Vektorraumes, erstere ist eine Menge offener Mengen, zweitere eine Menge von Vektoren, im Falle topologischer Vektorräume also eine Menge von Punkten. Die Begriffe weisen insofern eine Parallele auf, dass beide die Gesamtstruktur in einem gewissen Sinne erzeugen, allerdings wird für eine topologische Basis in keiner Weise Minimalität gefordert.
Dual zu dem obigen Basisbegriff, der für die offenen Mengen gilt, lässt sich auch eine Basis der abgeschlossenen Mengen definieren. Dabei wird ein Mengensystem
eine Basis der abgeschlossenen Mengen genannt, wenn sich jede abgeschlossene Menge der Topologie
als Schnitt von Mengen aus
schreiben lässt. Äquivalent dazu sind die folgenden beiden Charakterisierungen:
- Zu jeder abgeschlossenen Menge
und jedem
aus
existiert ein
, so dass
und
.
- Jede Vereinigung von zwei Mengen aus
lässt sich als Schnitt von Mengen aus
darstellen und es gilt
.
Basen der abgeschlossenen Mengen treten beispielsweise bei der Charakterisierung von T3a-Räumen auf.