Definice
Pro matici
![{\displaystyle {\boldsymbol {A))={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix))\in T^{n\times n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e2f961376ab0228054eec3d4c5582dfcfd979e)
má stopa hodnotu
.
Prvky
mohou být reálná čísla, komplexní čísla nebo obecněji prvky tělesa
. Stopa je definována pouze pro čtvercové matice, t.j. typu
.
Ukázka
Stopa matice
![{\displaystyle {\boldsymbol {A))={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc065c72694f370ca30a4026adec6b24aef979a)
je
.
Vlastnosti
- Stopa je lineární zobrazení, neboli pro libovolné čtvercové matice
a
stejného řádu nad tělesem
a libovolné
platí:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A))+{\boldsymbol {B)))=\operatorname {tr} {\boldsymbol {A))+\operatorname {tr} {\boldsymbol {B))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5720a4a16b284ec52cf46bc877700173f2ccf5bb)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (r{\boldsymbol {A)))=r\cdot \operatorname {tr} {\boldsymbol {A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a111be2416d50d6d01f5fde003546b6d141edf4)
- Stopa se nemění transpozicí:
![{\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A))=\operatorname {tr} {\bigl (}{\boldsymbol {A))^{\mathsf {T)){\bigr )))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c7ec2a7bb1676baa4b2fe257ae775f6b932368)
- neboť transpozice matice nemění hodnoty prvků, které leží na hlavní diagonále.
Stopa součinu
Matice ve stopě součinu dvou matic lze zaměnit beze změny výsledku. Pro matice
a
typu
a
platí:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B)))=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B)){\boldsymbol {A)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a138dd184fdbc0bdc94a17f4cc1fd390f4602b)
což bezprostředně plyne z definice maticového součinu:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B)))=\sum _{i=1}^{m}\left({\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B))\right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left({\boldsymbol {B)){\boldsymbol {A))\right)_{jj}=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B)){\boldsymbol {A))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfd0541a59b8ebbe87705047f2087de13f63941)
Tato vlastnost je zajímavá, protože součin matic není komutativní a současně stopa součinu
se obvykle liší od součinu stop
.[pozn. 1]
Podobné matice mají stejnou stopu, neboli pro čtvercovou matici
a regulární matici
stejného řádu platí:
.
Jinými slovy, stopa je invariantní vůči změně báze.
Obecněji je stopa neměnná při kruhových posunech činitelů:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B)){\boldsymbol {C)){\boldsymbol {D)))=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B)){\boldsymbol {C)){\boldsymbol {D)){\boldsymbol {A)))=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C)){\boldsymbol {D)){\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B)))=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {D)){\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B)){\boldsymbol {C))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac2a5e61ea85609844ca42171e173e705884c74)
Některé permutace nejsou povoleny, přičemž obecně platí:
.
U součinu tří symetrických matic, je však povolena jakákoli permutace:
.
Pro více než tři činitele však obecně neplatí libovolná záměna pořadí ani u symetrických matic.
Souvislost se skalárním součinem
Stopu čtvercové matice, která vznikne ze součinu dvou obdélníkových matic, lze přepsat jako součet dílčích součinů dvojic prvků na stejných pozicích, tj. jako součet všech prvků jejich Hadamardova součinu.
Formálně, jsou-li
a
jsou dvě matice typu
, pak
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A))^{\mathsf {T)){\boldsymbol {B))\right)=\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A)){\boldsymbol {B))^{\mathsf {T))\right)=\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {B))^{\mathsf {T)){\boldsymbol {A))\right)=\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {B)){\boldsymbol {A))^{\mathsf {T))\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b221405d2b2918f82b5db758aba0cc657a58c46)
Když se na matici
pohlíží jako na vektor délky
(což je proces nazývaný vektorizace), pak uvedený výpočet na maticích
a
odpovídá standardnímu skalárnímu součinu.
Podle uvedené rovnice je
součtem druhých mocnin, a proto je vždy nezáporná. Nulu nabývá pouze v případě, je-li matice
nulová, což odpovídá pozitivní definitnosti. Společně se symetrií
vyplývá, že uvedený součin tvoří unitární prostor na množině reálných matic stejného typu. Stopa součinu
se nazývá Frobeniův skalární součin matic
a
. Norma odvozená z tohoto skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma.
Pro reálné pozitivně semidefinitní matice
a
stejného řádu je tato norma submultiplikativní:
,
což lze dokázat pomocí Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti.
Frobeniův vnitřní součin a norma se často užívají v maticovém počtu a ve statistice.
Jmenovitě platí, že pro reálné sloupcové vektory
je stopa jejich tenzorového součinu rovna jejich standardnímu skalárnímu součinu:
.
Stopa Kroneckerova součinu
Stopa Kroneckerova součinu dvou matric je součinem jejich stop:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A))\otimes {\boldsymbol {B)))=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A)))\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf5a4493b5b77144b1de65d280f8c84878c4925)
Stopa a vlastní čísla
Stopa reálné nebo komplexní matice je rovna součtu jejích vlastních čísel.
Každá komplexní čtvercová matice
řádu
má
vlastních číslel
(každé je zopakováno tolikrát, kolik činí jeho algebraická násobnost) a pro vlastní čísla pak platí:
.
Tuto vlastnost mají i reálné matice, jejichž vlastní čísla mohou být komplexní.
Vztah je důsledkem skutečnosti, že
je podobná své Jordanově normální formě, což je horní trojúhelníková matice s
na hlavní diagonále.