Definitnost je pojem z lineární algebry. Popisuje, jaké znaménko mohou nabývat reálné kvadratické formy určené symetrickými maticemi, a obecněji i komplexní seskvilineární formy určené hermitovskými maticemi.

Definitnost matice se v geometrii používá k charakterizaci kuželoseček a kvadrik. Pozitivně definitní matice souvisejí se skalárním součinem a mají řadu aplikací mimo lineární algebru, například v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných, v semidefinitním programování a ve fyzice.

Pozitivně definitní matice	Indefinitní matice
${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4))&0\\0&1\\\end{pmatrix))}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4))&0\\0&-{\frac {1}{4))\end{pmatrix))}$
Příslušná kvadratická forma ${\displaystyle Q}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$: ${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4))x^{2}+y^{2))$	Příslušná kvadratická forma ${\displaystyle Q}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$: ${\displaystyle Q(x,y)={\frac {1}{4))x^{2}-{\frac {1}{4))y^{2))$
Body splňující ${\displaystyle Q(x,y)=1}$ (Elipsa).	Body splňující ${\displaystyle Q(x,y)=1}$ (Hyperbola).

Pokud pro hermitovskou komplexní matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A))\in \mathbb {C} ^{n\times n))$a každý nenulový komplexní vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {x))\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$ platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax))>0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá pozitivně definitní,
${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax))\geq 0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá pozitivně semidefinitní,
${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax))<0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá negativně definitní,
${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {Ax))\leq 0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech	se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá indefinitní.

Reálné hermitovské matice jsou symetrické a hermitovská transpozice splývá s obvyklou transpozicí. Předchozí definice se pro reálné matice zužuje následovně.

Pokud pro symetrickou reálnou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A))\in \mathbb {R} ^{n\times n))$a každý nenulový reálný vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {x))\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} }$ platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax))>0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá pozitivně definitní,
${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax))\geq 0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá pozitivně semidefinitní,
${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax))<0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá negativně definitní,
${\displaystyle {\boldsymbol {x))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {Ax))\leq 0}$,	potom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech	se ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ nazývá indefinitní.

Nechť ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor nad komplexními (nebo reálnými) čísly.

Pokud pro Hermitovskou seskvilineární formu ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$ (resp. symetrickou bilineární formu ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$) a libovolný nenulový vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {v))\in V\setminus \mathbf {0} }$ platí:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v)),{\boldsymbol {v))\rangle >0}$,	potom se forma nazývá pozitivně definitní,
${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v)),{\boldsymbol {v))\rangle \geq 0}$,	potom se forma nazývá pozitivně semi definitní,
${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v)),{\boldsymbol {v))\rangle <0}$,	potom se forma nazývá negativně definitní,
${\displaystyle \langle {\boldsymbol {v)),{\boldsymbol {v))\rangle \leq 0}$,	potom se forma nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech	se forma nazývá indefinitní.

V případě, že prostor ${\displaystyle V}$ má konečnou dimenzi, lze formu reprezentovat vůči libovolné bázi maticí. Bez ohledu na volbu báze se definitnost formy se shoduje s definitností matice.

Definitnost kvadratické formy se odvozuje od definitnosti příslušné symetrické matice.

Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, neboť díky spektrální větě je podobná reálné diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Definitnost matice je určena znaménky vlastních čísel. Hermitovská matice je:

• pozitivně definitní, právě když má všechna vlastní čísla kladná.
• pozitivně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nezáporná.
• negativně definitní, právě když má všechna vlastní čísla záporná.
• negativně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nekladná.
• indefinitní, právě když má kladná i záporná vlastní čísla.

Řada vlastností platí pro více typů definitnosti, proto je formulujeme jen jednou a odpovídající části jsou odlišeny lomítky.

Pokud je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ pozitivně/negativně definitní a ${\displaystyle r}$ je kladné reálné číslo, potom matice ${\displaystyle r{\boldsymbol {A))}$ je pozitivně/negativně definitní.

Pro semidefinitní matice obou typů stačí, aby ${\displaystyle r}$ bylo nezáporné.

Pokud jsou matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ pozitivně/negativně definitní/semidefinitní, potom jejich součet ${\displaystyle {\boldsymbol {A))+{\boldsymbol {B))}$ je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní.

Pokud jsou matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ pozitivně/negativně definitní/semidefinitní a ${\displaystyle \alpha }$ je reálné číslo z intervalu ${\displaystyle \langle 0,1\rangle }$, potom jejich konvexní kombinace ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {A))+(1-\alpha ){\boldsymbol {B))}$ je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní. Platí i pro konvexní kombinace více matic.

Pokud je matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ pozitivně/negativně definitní, potom matice k ní inverzní ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{-1))$ je pozitivně/negativně definitní.

• Maticový součin ${\displaystyle {\boldsymbol {AB))}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ stejného řádu nemusí být pozitivně definitní.
• Pokud ale součin komutuje, čili ${\displaystyle {\boldsymbol {AB))={\boldsymbol {BA))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ jsou pozitivně definitní, pak ${\displaystyle {\boldsymbol {AB))}$ je pozitivně definitní.
• Hadamardův součin ${\displaystyle {\boldsymbol {A))\circ {\boldsymbol {B))}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ je pozitivně definitní.
• Kroneckerův součin ${\displaystyle {\boldsymbol {A))\otimes {\boldsymbol {B))}$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ je pozitivně definitní.
• Frobeniův skalární součin ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A)),{\boldsymbol {B))\rangle _{\mathrm {F} ))$ pozitivně definitních matic ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ je kladné číslo.

Nechť ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je reálná symetrická (resp. komplexní hermitovská) matice. Pak následujících deset tvrzení je ekvivalentních:

• Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je pozitivně definitní.

• Všechna vlastní čísla matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ jsou kladná.

• Všechna vlastní čísla všech hlavních podmatic jsou kladná.

• Hlavní minory určené prvními ${\displaystyle k}$ řádky pro ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\))$ jsou kladné, neboli ${\displaystyle \det {\boldsymbol {A))_{k}>0}$ , kde

${\displaystyle {\boldsymbol {A))_{1}=a_{11},\quad {\boldsymbol {A))_{2}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol {A))_{3}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix)),\quad \ldots }$

tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.

• Všechny hlavní minory matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ jsou kladné.

• Součty všech hlavních minorů ${\displaystyle k}$-tého stupně jsou kladné pro ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\))$.

• Existuje dolní trojúhelníková matice ${\displaystyle {\boldsymbol {L))}$ tak, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {L)){\boldsymbol {L))^{\mathrm {T} ))$ (resp. ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {L)){\boldsymbol {L))^{\mathrm {H} ))$ pro komplexní případ); viz Choleského rozklad.

• Existuje regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {B))}$ tak, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {B)){\boldsymbol {B))^{\mathrm {T} ))$ (resp. ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {B)){\boldsymbol {B))^{\mathrm {H} ))$ pro komplexní případ).

• Existují ortogonální (resp. unitární) matice ${\displaystyle {\boldsymbol {U))}$ a diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D))}$ s kladnými prvky na diagonále takové, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {U)){\boldsymbol {D)){\boldsymbol {U))^{\mathrm {T} ))$ (resp. ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {U)){\boldsymbol {D)){\boldsymbol {U))^{\mathrm {H} ))$ pro komplexní případ); viz Jordanův normální tvar a Schurův rozklad.

• Existuje symetrická (resp. hermitovská) regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {F))}$ taková, že ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {F)){\boldsymbol {F))={\boldsymbol {F))^{2))$. Obvykle se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {F))={\sqrt {\boldsymbol {A))}={\boldsymbol {A))^{1/2))$; viz maticové funkce. Matici ${\displaystyle {\boldsymbol {F))}$ lze získat například z výše uvedeného rozkladu ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\boldsymbol {U)){\boldsymbol {D)){\boldsymbol {U))^{\mathrm {T} ))$ jako ${\displaystyle {\boldsymbol {F))={\boldsymbol {U)){\boldsymbol {D))^{1/2}{\boldsymbol {U))^{\mathrm {T} ))$ (resp. s hermitovskou transpozicí pro komplexní matice), přičemž prvky diagonální matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D))^{1/2))$ jsou dány výrazem ${\displaystyle ({\boldsymbol {D))^{1/2})_{ii}={\sqrt {d_{ii))))$.

Důkaz ekvivalence viz např. ^[1]

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi (${\displaystyle n=1,2,3}$) se lze setkat s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). Postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic) nejsou použitelné v praxi (${\displaystyle n=10^{6},10^{9},\ldots }$). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.

Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je reálná symetrická matice pozitivně definitní, efektivním, zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (výpočet má asymptotickou složitost ${\displaystyle n^{3))$ a algoritmus je numericky stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo odmocnění záporného čísla. Pokud matice je pozitivně definitní, tyto situace ve výpočtu Choleského rozkladu nenastanou.

Choleského rozklad lze určit i pro komplexní hermitovskou pozitivně definitní matic. Při výpočtu je třeba použít aritmetiku komplexních čísel, a proto je nezbytné hlídat, zdali při výpočtu nedochází k odmocnění záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu, ale pokud taková situace nastane, znamená to, že daná matice není pozitivně definitní.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Definite matrix na anglické Wikipedii a Definitheit na německé Wikipedii.

• FIEDLER, Miroslav. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. [s.l.]: TKI, SNTL, 1981. 
• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Choleského rozklad
• Determinant
• Hermitovská matice