Definitnost je pojem z lineární algebry. Popisuje, jaké znaménko mohou nabývat reálné kvadratické formy určené symetrickými maticemi, a obecněji i komplexní seskvilineární formy určené hermitovskými maticemi.
Definitnost matice se v geometrii používá k charakterizaci kuželoseček a kvadrik. Pozitivně definitní matice souvisejí se skalárním součinem a mají řadu aplikací mimo lineární algebru, například v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných, v semidefinitním programování a ve fyzice.
Pokud pro hermitovskou komplexní matici
a každý nenulový komplexní vektor
platí:
,
|
potom se nazývá pozitivně definitní,
|
,
|
potom se nazývá pozitivně semidefinitní,
|
,
|
potom se nazývá negativně definitní,
|
,
|
potom se nazývá negativně semidefinitní,
|
v ostatních případech
|
se nazývá indefinitní.
|
Reálné hermitovské matice jsou symetrické a hermitovská transpozice splývá s obvyklou transpozicí. Předchozí definice se pro reálné matice zužuje následovně.
Pokud pro symetrickou reálnou matici
a každý nenulový reálný vektor
platí:
,
|
potom se nazývá pozitivně definitní,
|
,
|
potom se nazývá pozitivně semidefinitní,
|
,
|
potom se nazývá negativně definitní,
|
,
|
potom se nazývá negativně semidefinitní,
|
v ostatních případech
|
se nazývá indefinitní.
|
Nechť
je vektorový prostor nad komplexními (nebo reálnými) čísly.
Pokud pro Hermitovskou seskvilineární formu
(resp. symetrickou bilineární formu
) a libovolný nenulový vektor
platí:
,
|
potom se forma nazývá pozitivně definitní,
|
,
|
potom se forma nazývá pozitivně semi definitní,
|
,
|
potom se forma nazývá negativně definitní,
|
,
|
potom se forma nazývá negativně semidefinitní,
|
v ostatních případech
|
se forma nazývá indefinitní.
|
V případě, že prostor
má konečnou dimenzi, lze formu reprezentovat vůči libovolné bázi maticí. Bez ohledu na volbu báze se definitnost formy se shoduje s definitností matice.
Definitnost kvadratické formy se odvozuje od definitnosti příslušné symetrické matice.
Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, neboť díky spektrální větě je podobná reálné diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Definitnost matice je určena znaménky vlastních čísel. Hermitovská matice je:
- pozitivně definitní, právě když má všechna vlastní čísla kladná.
- pozitivně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nezáporná.
- negativně definitní, právě když má všechna vlastní čísla záporná.
- negativně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nekladná.
- indefinitní, právě když má kladná i záporná vlastní čísla.
Řada vlastností platí pro více typů definitnosti, proto je formulujeme jen jednou a odpovídající části jsou odlišeny lomítky.
Pokud je matice
pozitivně/negativně definitní a
je kladné reálné číslo, potom matice
je pozitivně/negativně definitní.
Pro semidefinitní matice obou typů stačí, aby
bylo nezáporné.
Pokud jsou matice
a
pozitivně/negativně definitní/semidefinitní, potom jejich součet
je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní.
Pokud jsou matice
a
pozitivně/negativně definitní/semidefinitní a
je reálné číslo z intervalu
, potom jejich konvexní kombinace
je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní. Platí i pro konvexní kombinace více matic.
Pokud je matice
pozitivně/negativně definitní, potom matice k ní inverzní
je pozitivně/negativně definitní.
- Maticový součin
pozitivně definitních matic
a
stejného řádu nemusí být pozitivně definitní.
- Pokud ale součin komutuje, čili
a
i
jsou pozitivně definitní, pak
je pozitivně definitní.
- Hadamardův součin
pozitivně definitních matic
a
je pozitivně definitní.
- Kroneckerův součin
pozitivně definitních matic
a
je pozitivně definitní.
- Frobeniův skalární součin
pozitivně definitních matic
a
je kladné číslo.
Nechť
je reálná symetrická (resp. komplexní hermitovská) matice. Pak následujících deset tvrzení je ekvivalentních:
- Matice
je pozitivně definitní.
- Všechna vlastní čísla matice
jsou kladná.
- Hlavní minory určené prvními
řádky pro
jsou kladné, neboli
, kde
![{\displaystyle {\boldsymbol {A))_{1}=a_{11},\quad {\boldsymbol {A))_{2}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol {A))_{3}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix)),\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d704143db523a38f6a6764dffe909c999c7fd1)
- tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.
- Všechny hlavní minory matice
jsou kladné.
- Součty všech hlavních minorů
-tého stupně jsou kladné pro
.
- Existuje dolní trojúhelníková matice
tak, že
(resp.
pro komplexní případ); viz Choleského rozklad.
- Existuje regulární matice
tak, že
(resp.
pro komplexní případ).
- Existují ortogonální (resp. unitární) matice
a diagonální matice
s kladnými prvky na diagonále takové, že
(resp.
pro komplexní případ); viz Jordanův normální tvar a Schurův rozklad.
- Existuje symetrická (resp. hermitovská) regulární matice
taková, že
. Obvykle se značí
; viz maticové funkce. Matici
lze získat například z výše uvedeného rozkladu
jako
(resp. s hermitovskou transpozicí pro komplexní matice), přičemž prvky diagonální matice
jsou dány výrazem
.
Důkaz ekvivalence viz např. [1]
Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi (
) se lze setkat s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). Postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic) nejsou použitelné v praxi (
). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.
Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je reálná symetrická matice pozitivně definitní, efektivním, zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (výpočet má asymptotickou složitost
a algoritmus je numericky stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo odmocnění záporného čísla. Pokud matice je pozitivně definitní, tyto situace ve výpočtu Choleského rozkladu nenastanou.
Choleského rozklad lze určit i pro komplexní hermitovskou pozitivně definitní matic. Při výpočtu je třeba použít aritmetiku komplexních čísel, a proto je nezbytné hlídat, zdali při výpočtu nedochází k odmocnění záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu, ale pokud taková situace nastane, znamená to, že daná matice není pozitivně definitní.
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Definite matrix na anglické Wikipedii a Definitheit na německé Wikipedii.
- ↑ Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI SNTL 1981.
- FIEDLER, Miroslav. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. [s.l.]: TKI, SNTL, 1981.
- BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.