Hipotez testi, bir hipotezin doğruluğunun istatistiksel bir güvenilirlik aralığında saptanması için kullanılan yöntem.
Hipotez testleri bir örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğu düşünülen ortalama değer etrafındaki farkın anlamlı olup olmadığını (yani önemli bir fark olup olmadığını) saptayan testlerdir.
Eğer iki ana kütlenin ortalamaları arasındaki fark sınanıyorsa bunlardan çekilen örneklemlerin ortalamaları üzerinde hipotez testleri yapılarak farkın doğru olup olmadığı anlaşılabilir.
Ana madde: Sıfır Hipotezi |
Null, Yokluk Hipotezi, İstatistiksel Hipotez => :Örneklemden elde edilen ortalama ile anakütleye ait ortalamanın farkı "sıfır","0" sayılabilir. Yani anakütle üzerinde yapılan deformasyonların anakütle aritmetik ortalamasını değiştirmeyeceği görüşünü savunur. Bu görüş savunulurken istatistiksel anlamlılık denilen (%99 %97 veya %95) yanılgı payı göz önüne alınır. Zaten yapılan işlemlerden sonra farkın çok küçük de olsa sıfırdan farklı olduğu görülür
Ana madde: Karşıt hipotezi |
Alternatif, Araştırma Hipotezi.:Yani yapılan deformasyonun anakütle aritmetik ortalamasını değiştireceği öngürüsüdür.
"Güç", bir hipotez testinin isabetliliği için önemli bir kriterdir ve her zaman maksimize edilmek istenir. Güç'ün 1 çıkması o testin ideal olduğunu gösterir ama pratikte "Güç = 1" olan testlere çok nadir rastlanır.
I. Tür - α ve II. Tür - β tipi hatalar bilinçli olarak yapılan hatalardır. Burada bu hataların bilinçli yapılmasının sebebi olaylara bir de tersinden bakma gereksiniminden dolayıdır.
Özetle:
gerçek | hatalı | |
kabulu | Doğru karar çıkarım | II.Tür hata (β) |
reddi | I.Tür hata (α) | Doğru karar çıkarım |
α: Hatalı karar, Ho doğru, biz onu yanlış diye reddediyoruz. (I. Tip Hata)
β: Hatalı karar, Ho yanlış, biz onu doğru diye kabul ediyoruz.
(1-α) : Doğru bir Ho hipotezini kabul etmemiz olasılığı olup buna testin güvenilirlik düzeyi denir.
(1-β) : Yanlış bir H0 hipotezini reddetmemiz olasılığı olup buna testin gücü denir.
Hipotez testi yaparken, α ve β hatalarını en aza indirmek için örneklemdeki birim sayısını olabildiğince fazlalaştırmak gerekir. α hatası yapma olasılığı azalırsa β hatası yapma olasılığı artar. İki hatanın olasılığından biri azalırken diğeri artar. Aynı testte hem α hem de β hatası beraber yapılamaz. Hatasız bir test yapmak mümkün değildir. %1,0 doğru karar verilemez. Normal dağılım asimtotik olup x-ekseni ile kesişmediği için çok küçük de olsa bir risk söz konusudur.
Burada araştırma sorunu tek bir anakütle parametresi (anakütle ortalaması) hakkındadır. Bu anakütle ortalama değeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez değerde (Mü sıfır diye okunur) olduğu varsayılmaktadır. Hipotez testi anakütle ortalamasına verilen değer hakkındadır. "Sıfır hipotez" değeri bu parametre için belirtilen değerde olduğudur ve yani
alternatif hipotez ise
Bir anakütleden "basit olasılık örnekleme yöntemi" kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve (x bar diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez testi yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynağı olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktır.
Bir alçı dolum makinesi μo=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettirilir. Acaba yine μo=20kglık dolum yapabilecek midir?
Deneme yapıp görmek gerekir.
40 torba basit örneklem yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:
= 19,8 kg, = 20,5 kg, = 21,2 kg, = 18,9 kg, ..., = 20,8 kg
Örneklem istatistikleri şöyle hesaplanmıştır:
n = 40 torba
Örneklem ortalaması: = 21,4 kg
Örneklem standart sapması: σ = 3,2 kg
=
-> 21,4±0,506 kg
Buradan sonra hipotez testleri sürecine geçilir.
Ho: Elimizdeki örneklem anakütle ortalaması "Mo = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olup, örneklem ortalaması X- değeri anakütle ortalamasına eşit olarak kabul edilebilir. Aradaki 1,4 kg lık fark ise tesadüfe bağlanabilecek, önemli olmayan, anlam taşımayan çok küçük bir farktır. Dolayısıyla X- = Mo yazabiliriz. Yani elimizdeki örneklemin ait olduğu anakütle ortalamasını M ile gösteririz.
H1: Bu örneklem "Mo = 20kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olamaz. Aradaki 1,4 kg lık fark tesadüfe bağlı değil, ayarlamanın yapılmamış olması nedeni ile gerçekleşmiştir. Bu kadarlık farkın tesadüfen ortaya çıkmış olması olasılığı çok küçüktür. Dolayısıyla dolum ayarı iyi olmadığı için istenenden daha hafif ya da daha ağır dolumlarla karşılaşmamız olasıdır. Bu örneklemin çekilmiş olduğu anakütle 20 kg olamaz. Örneklemimiz kendine ait başka bir anakütleden çekilmiş olmalıdır.
Hatasız bir test yapamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05; 0,01; 0,005; 0,0001;... gibi bir düzey olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, teste olan güven düzeyimiz yükselir. O nedenle istatistikçiler olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve α=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.
Elimizdeki veriler tartma yoluyla elde edilmiş sürekli, nitelik, nicel bir değişkene aittir. Bu tip veriler genelde normal dağılım gösterirler. Yani örneklemimiz "normal dağılım" lı bir anakütleden çekilmiştir. Anakütle sonsuz büyüklüktedir. Seçim iadesiz seçimdir ve tamamen rassal bir süreçle yapılmıştır. Yani torbaların ağırlıkları birbirini etkilememiştir. n>30 olduğu için büyük bir örneklem ile çalışıyoruz. Aynı anakütleden n=40 birimli pek çok sayıda örneklem çekmiş olsak, bunların X- ortalama dağılımı bir normal dağılım olur. Bu ortalamaların ortalaması anakütle ortalamasını verir. "kg" biriminden kurtulmak için X- ortalama değerlerini standardize edersek, verilerimiz z değerlerine dönüşür ve dağılımımız bir standart normal dağılım olan z dağılımı na dönüşür.
Kritik değerin saptanması
Ret alanı demek; normal dağılım eğrisi altında seçtiğimiz güven alanı (Ho'ın kabul alanı) dışında kalan Ho'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı çift yönlü olabilir. (eksi taraf, artı taraf) veya tek taraflı olabilir. (Yani ya sol tarafta ya da sağ tarafta) Bunun anlaşılması için H1 hipotezine bakarız.
Elimizdeki örnekleme ait zh değeri örneklemin bir istatistiğidir. Bu istatistik yardımıyla hipotez testini sonuçlandıracağız. O nedenle, zh değerine Test İstatistiği adını veriyoruz.
Bir hipotez testinde; zh < zα ise; Ho kabul edilir. Bu elimizdeki X-in, M ye yakın kabul edilebilecek bir konumda (Ho'ın kabul alanında) bulunduğunu gösterir.
Eğer zh > zα ise; Ho reddedilir. Elimizdeki örneklemin, Mo ortalamalı bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem olmayacağı çünkü böyle bir şeyin gerçekleşmesi olasılığının çok küçük (p<0,05 veya p<0,01) olduğu sonucuna ulaşılır.
zh = 2,74 > z0,05 = 1,96 --> Ho RET
Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, ilgilendiğim anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir. O nedenle iki ortalama arasındaki farkı z değerine dönüştürdüğümde, bulduğum zh = 2,74 değeri de z0,05 = 1,96 nın ötesine düşmüştür. Yani %5'lik ret alanına düşmüştür. Bu durumda X- = Mo biçiminde ifade ettiğim ve oradan M=Mo düzeyine yükselttiğim Ho hipotezini kabul edemem. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir. Aynı deneyi n=40 olan 100 örneklem ile tekrarlarsam, bunun 95inde gene aynı sonuçla karşılaşmayı beklerim. Belki yalnızca 5inde makinenin ayarı iyiymiş gibi hatalı bir sonuca ulaşabilirim.
Dolayısıyla; verdiğim kararın doğru olması olasılığı %95 iken hatalı olması olasılığı en fazla %5 tir.
1) zh<zα olduğunda, Ho hipotezini kabul ediyoruz ve;
2) zh>zα olduğunda, Ho hipotezini reddediyoruz ve;
Ana maddeler: Tek anakütle ortalaması için hipotez sınaması ve Tek anakütle orantısı için hipotez sınaması |
İsim | Formül | Varsayımlar |
Tek-örneklem z-testi | (Normal dağılım veya n > 30) ve bilinen σ değeri. (z standard sapmalar sayı birimleri ile ölçülen ortalamaya uzaklıktır. n standard sapma aralığına düşen bir anakütlenin oranin en küçük değerini hesaplamak mümkündür; (bakin: Chebyshev'in eşitsizliği). | |
Tek-örneklem t-testi |
|
(Normal anakütle veya n < 30) ve bilinmeyen σ değeri |
Tek-oran için z-testi | n .p > 10 ve n (1 − p) > 10 |
Ana maddeler: İki anakütle ortalamasi farkı için hipotez sınaması ve İki anakütle orantısı farkı için hipotez sınaması |
İsim | Formül | Varsayımlar |
İki-örneklem z-testi | Normal dağılım ve bağımsız gözlemler ve (bilinen σ1 ve σ1 değerleri) | |
İki-örneklem pool edilmiş t-testi |
|
(Normal anakütle veya n1+n2 > 40) ve bağımsız gözlemler ve σ1 = σ2 ve (bilinmeyen σ1 ve σ2 değerleri) |
İki-örneklem pool edilmemiş t-testi |
|
(Normal anakütleler veya n1+n2 > 40) ve bağımsız gözlemler ve σ1 ≠ σ2 ve (bilinmeyen σ1 ve σ2 değerleri) |
Çiftleştirilmiş t-testi |
|
(Normal farklar anakütlesi veya n < 30) ve bilinmeyen σ değeri |
İki-oran için z-testi, eşit varyanslar |
|
n1.p1 > 5 ve n1(1 − p1) > 5 ve n2.p2 > 5 ve n2(1 − p2) > 5 ve bağımsız gözlemler |
İki-oran için z-testi, eşit olmayan varyanslar | n1.p1 > 5 ve n1(1 − p1) > 5 ve n2.p2 > 5 ve n2(1 − p2) > 5 ve bağımsız gözlemler |