Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:[1][2]
veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir;
,
burada ve , sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır.[3] Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.[4]
noktası, üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, 'nın uzantısı çemberi noktasında keser. O halde , yayının orta noktasıdır. 'yu birleştirin ve 'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. 'dan 'ye bir dik çizin ve onun ayağı olsun, yani 'dir. üçgeninin üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle , yani 'dir. Bu nedenle 'dir. 'yı birleştirin. Çünkü;
,
,
, ve olduğu bilgisine sahibiz. 'yi çevrel çemberi ve noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra , yani , yani 'dir.
Eğer ve sırasıyla tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman olur.
Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.[8]
^Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, doi:10.1017/S0025557200182087, JSTOR40378417
Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, 5 Aralık 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020