Heometriya | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | ||||||||||
Mga sanay
|
||||||||||
Dimensiyon
|
||||||||||
Serong dimensiyonal |
||||||||||
Dalawang dimensiyonal
|
||||||||||
|
||||||||||
Apat- / ibang-dimensiyonal
|
||||||||||
Mga heometra | ||||||||||
ayon sa pangalan
|
||||||||||
ayon sa panahon
|
||||||||||
Sa sipnayan, ang teorema ni Pitagoras (Kastila: teorema de Pitágoras, Ingles: Pythagorean theorem) ay isang pangunahing relasyon sa heometriyang Euclidyana ng tatlong gilid ng isang tatsulok na may sihang tadlong. Sinasabi nito na ang parirami ng gilis (ang gilid katapat ng sihang tadlong) ay katumbas ng kabuuan ng parirami ng natitirang dalawang gilid. Maaaring sulatin ang teorema bilang isang ekwasyon na nag-uugnay ng mga haba ng gilid na nag-uugnay ng mga haba ng panig na a, b and c na kadalasang tinatawag na "Ekwasyong Pitagoriko":[1]
kung saan kumakatwan ang "c" sa haba ng gilis at ang "a" at "b" sa mga haba ng natitirang dalawang gilid.
Kahit madalas na pinagtatalunan na may kaalaman na sa teorema bago si Pitagoras,[2][3] ipinangalan ang teorema kay Pitagoras (s. 570–495 BK), isang dalubbilang sa sinaunang Gresya, dahil siya, ayon sa tradisyon, ang ipinalagay na may pinakaunang patibay, ngunit wala itong ebidensya.[4][5][6] May kaunting ebidensya na naintindihan ng mga Babilonyang dalubbilang ang pormula, ngunit halos walang nagpapahiwatig ng paggamit sa isang balangkas-sipnayan.[7][8] Nadiskubre nang magkahiwalay ng mga Mesopotamyang, Indiyanong and Tsinong dalubbilang, at, sa mga ibang pagkakataon, ay nagbigay ng patibay para sa mga kasong espesyal.
Nabigyan ang teorema ng mararaming patibay, marahil na ang pinakamarami para sa anumang teoremang matematiko. Iba't iba ang mga ito, kabilang ang heometrikong patibay at alhebraikong patibay, ilan na pinetsahang libu-libong taon na ang nakalilipas. Maaaring heneralisahin ang teorema sa iba't ibang paraan, kasama na ang mga espasyo na may mas mataas na sukod, mga espasyong di-Euclidyano, sa mga bagay na hindi tatsihang tadlong, at sa katunayan, sa mga bagay na hindi tatsulok talaga, pero mga solido na may n na sukod. Nakaakit ang teoremang Pitagoras ng interes sa labas ng sipnayan bilang simbolo ng sipnayaning kalabuan, kahiwagaan, o kapangyarihang intelektuwal; managana ang mga pagtukoy nito sa panitikan, mga dula, mga musikal, mga kanta, mga selyo, at guhit-larawan.
Naglalaman ang dalawang malaking parisukat na ipinapakita sa pigura ng tig-apat na magkakaparehong tatsulok, at ang pagkakaiba lamang ng dalawang malaking parisukat ay magkaiba ang pagsasaayos ng mga tatsulok. Samakatuwid, magkatumbas dapat ang sukat ng mga puting puwang sa loob ng dalawang parisukat. Nagbubunga ang pag-ekweyt ng sukat ng puting puwang ng teorema ni Pitagoras, Q.E.D.[9]
Ibinibigay ni Heath ang patibay na ito sa kanyang komentaryo sa Proposition I.47 sa Mga Elemento ni Euclid, at ibinabangit ang mga panukala ni Bretschneider at Hankel na posibleng naunawaan ni Pitagoras ang patibay na ito. Mas gusto ni Heath mismo ang ibang panukala para sa Pitagorikong katibayan, pero inaamin sa umpisa pa lamang ng pagtatalakay na "Hindi naglalaman ang Griyegong panitikan na inaarian natin na nagmumula sa unang limang siglo pagkatapos ni Pitagoras ng pahayag na nagbabanggit dito o anumang dakilang heometrikong pagkatuklas mula sa kanya."[10] Lumalaki ang pagdududa ng kamakailang iskolarsip sa anumang papel ni Pitagoras bilang manlilikha ng sipnayan, ngunit tuloy pa rin ang pakikipagtalo tungkol dito.[11]
Kapag tumutukoy ang c sa haba ng gilis at tumutukoy ang a at b sa haba ng dalawa pang panig, maaaring ipahayag ang teorema ni Pitagoras bilang ang ekwasyong Pitagoriko:
Kapag alam ang haba ng a at b, maaaring ikalkula ang c bilang
Kapag alam ang gilis ng c at ng isang panig (a o b), maaaring ikalkula ang haba ng isa pang panig bilang
o
Iniuugnay ng ekwasyong Pitagoriko ang mga panig ng sihang tadlong sa simpleng paraan, kaya kung alam ang haba ng anumang dalawang panig, maaaring hanapin ang haba ng ikatlong panig. Isa pang koralariya ng teorema ay sa anumang sihang tadlong, mas malaki ang gilis kaysa sa isa sa mga iba pang panig, pero mas maliit kaysa sa kanilang kabuuan.
Isang heneralisasyon ng teoremang ito ang batas ng kasinway na nagpapahintulot ng komputasyon ng haba ng anumang panig ng anumang tatsulok, basta nandoon ang haba ng dalawa pang panig at ang anggulo sa gitna nila. Kapag sihang tadlong ang anggulo sa gitna ng iba pang panig, pumapayak ang batas ng kasinway para maging ekwasyong Pitagoriko.
Posible na ang teoremang ito ay mas maraming kilalang katibayan kaysa sa iba (ang batas ng dawaking resiprosidad ay isa pang kalaban para sa karangalan); naglalaman ang aklat na The Pythagorean Proposition ng 370 katibayan.[12]
Nakabatay ang pruwebang ito sa pagkaproporsyonado ng mga panig ng dalawang magkahawig na tatsulok, iyon ay, magkatumbas ang ratio ng anumang dalawang naaayong panig ng magkahawig na tatsulok anuman ang laki ng mga tatsulok.
Ipalagay na kumakatawan ang ABC sa tatsihang tadlong kung saan matatagpuan ang sihang tadlong sa C, tulad ng ipinapakita sa larawan. Ilarawan ang tayog mula sa punto C, at tawagin ang H bilang kanyang sagandaan kasama ang panig AB. Hinahati ng punto H ang haba ng gilis c sa mga bahaging d at e. Magkahawig ang bagong tatsulok ACH sa tatsulok ABC, dahil may mga sihang tadlong sila (ayon sa kahulugan ng tayog), and nakikibahagi sila ng anggulo sa A, ibig sabihin na parehas din ang ikatlong anggulo sa dalawang tatsulok na iminamarka ng θ sa pigura. Sa katulad na pangangatuwiran, magkahawig din ang tatsulok CBH sa ABC. Kinakailangan ng katibayan ng pagkakahawig ng tatsulok ang saligang tatsulok: ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay dalawang sihang tadlong, at magkatumbas ito sa saligang agapay. Humahantong ang pagkakahawig ng mga tatsulok sa katumbasan ng mga ratio ng mga naaayon na panig:
Pinapatumbas ng unang resulta ang kasinway ng mga anggulong θ, samantalang pinapatumbas ng ikalawang resulta ang kanilang sinway.
Maaaring isulat ang mga ratio bilang
Nagreresulta ang pagdaragdag ng dalawang katumbasang ito sa
na, pagkatapos ng pagpapayak, ay ipinapahayag ang teorema ni Pitagoras:
Sa isang balangkas, narito kung paano ang pruweba sa Mga Elemento ni Euclid. Hinahati ang malaking parisukat sa isang kaliwa at isang kanang parisukat. Nabubuo ang isang tatsulok na may kalahating dawak ng kaliwang parihaba. Pagkatapos, may nabubuong tatsulok na may kalahating dawak ng parisukat sa kaliwang banda. Ipinapakita na magkalapat ang dalawang tatsulok na nagpapatunay na parehas ang dawak ng parisukat sa dawak ng kaliwang parihaba.Sumusunod sa argumentong ito ang isang magkatulad na bersyon para sa kanang parihaba at sa natitirang parisukat. Kapag isinama ang dalawang parihaba para ibuo muli ang parisukat sa gilis, parehas ang kanyang dawak sa kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat. Sumusunod ang mga detalye.
Ipalagay na A, B, C ang mga bagtasan ng sihang tadlong na may sihang tadlong sa A. Maglagay ng perpendikular mula A hanggang sa panig katapat ng gilis sa parisukat sa gilis. Ang linyang iyon ay naghahati sa parisukat sa gilis para maging dalawang parihaba, bawat isa na may parehong dawak sa isa sa mga dalawang parisukat sa paa.
Para sa pormal na katibayan, kailangan ng apat na elementaryang lemmata:
Pagkatapos, kaugnay ang bawat tuktok na parisukat sa isang tatsulok na magkalapat sa isa pang tatsulok na kaugnay naman sa isa sa dalawang parihaba na nagbubuo ng parisukat sa ibaba.[13]
Sumusunod ang katibayan:
Pinapatunayan ng katibayang ito na mahahanap sa Mga Elemento ni Euclid sa Panukalang 47 sa Ika-1 Aklat,[15] na ang dawak ng parisukat sa gilis ay ang kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat.[16]
Kakaiba ito sa katibayan gamit ang magkahawig na tatsulok na ipinapalagay ay ang katibayan na ginamit ni Pitagoras.[17][18]
Napag-usapan na natin ang katibayang Pitagoriko na isang katibayan sa pagbabago ng ayos. Ipinapayahag ang parehong ideya sa pinakakaliwang animasyon sa ibaba na binubuo ng isang malaking parisukat, panig a + b, na naglalaman ng apat na magkaparehong sihang tadlong. Ipinapakita ang mga tatsulok sa dalawang pagsasaayos, ang una kung saan hindi natatakip ang dalawang parisukat na a2 at b2, at ang ikalawa kung saan hindi nakatakip ang parisukat na c2 . Hindi nagbabago ang dawak ng panlabas na parisukat, at magkapareho ang dawak ng apat na tatsulok sa simula at sa huli, kaya dapat magkatumbas ang mga dawak ng mga itim na parisukat, samakatuwid a2 + b2 = c2.
Ibinibigay ng gitnang animasyon ang ikalawang katibayan sa pagbabago ng ayos. Nabubuo ang isang malaking parisukat na may dawak na c2 mula apat na magkaparehong tadlong sihang na may panig na a, b at c, na kinasya sa isang maliit na parisukat sa gitna. Pagkatapos, nabubuo ang dalawang parihaba na may panig na a at b sa pamamagitan ng paggalaw ng mga tatsulok. Kapag pinagsama ang mas maliit na parisukat sa mga parihaba, nabubuo ang dalawang parisukat na may dawak na a2 at b2, na may parehong dawak dapat sa unang malaking parisukat.[19]
Mayroon ding katibayan ang ikaltong pinakakanang larawan. Nakahati ang mga dalawang parisukat sa itaas tulad ng ipinakita ng mga kulay bughaw at luntian na maaaring ikasya sa parisukat sa ibaba sa gilis – o pasalungat nito maaaring hatiin ang malaking parisuat tulad ng ipinapakita sa mga piraso na nagpupuno ng dalawa pang parisukat. Tinatawag na panisnisan ang ganitong paraan ng paghati sa isang pigura sa mga piraso at ayusin muli para matamo ang isa pang pigura. Ipinapakita nito na magkatumbas ang dawak ng malaking parisukat sa dawak ng dalawang mas maliit na parisukat.[20]
((cite book))
: CS1 maint: date auto-translated (link)
In this article we examine four Babylonian tablets which all have some connection with Pythagoras's theorem. Certainly the Babylonians were familiar with Pythagoras's theorem.
((cite web))
: CS1 maint: date auto-translated (link)
The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by – amongst others – Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch ...
((cite book))
: CS1 maint: date auto-translated (link)
((cite book))
: CS1 maint: date auto-translated (link), where the speculation is made that the first column of tablet 322 in the Plimpton collection supports a Babylonian knowledge of some elements of trigonometry. That notion is pretty much laid to rest, however, by Eleanor Robson (2002). "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 109 (2): 105–120. doi:10.2307/2695324. JSTOR 2695324. ((cite journal))
: Invalid |ref=harv
(tulong)CS1 maint: date auto-translated (link) (pdf file Naka-arkibo 2013-09-21 sa Wayback Machine.). The generally accepted view today is that the Babylonians had no awareness of trigonometric functions. See also Abdulrahman A. Abdulaziz (2010). "The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples". arXiv:1004.0025 [math.HO]. ((cite arXiv))
: Invalid |ref=harv
(tulong)CS1 maint: date auto-translated (link) §2, p. 7.
((cite book))
: CS1 maint: date auto-translated (link)
((cite book))
: CS1 maint: date auto-translated (link)
((cite book))
: CS1 maint: date auto-translated (link)
This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.
((cite web))
: CS1 maint: date auto-translated (link)