En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.
Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa "mycket konstiga" delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.
Snitt och unioner av sigma-algebror
Låt
och
vara två sigma-algebror på mängden X.
- Snittet
är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både
och
.
- Unionen
är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.
Följande exempel visar att familjen
inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna
och
är det.
- Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen
![{\displaystyle A\cup B=\{\emptyset ,X,\{0\},\{1\},\{1,2\},\{0,2\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59235c8e5514c032934f1b256a4052c5306d9d90)
- Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen
.
Sigma-algebra genererad av familj av delmängder
Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror,
, av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:
![{\displaystyle C\subseteq F_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfa0e4826358917ef32b27cbbc084940728f52e)
Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas
; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:
![{\displaystyle \sigma (C)=\bigcap _{i}F_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3524fd677712c35dd1a5fa631bb4252f59ec4b)
Exempel: Borel sigma-algebra
Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.
Exempel: Produkt sigma-algebra
Låt
och
vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten
skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna
och
.
- En första tanke kanske är att bilda familjen
bestående av alla produkter
, där A är ett element i F och B ett element i G:
![{\displaystyle F\times G=\{A\times B:A\in F,B\in G\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d3e621b37619bda88823c596349ced47232c84)
- Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på
bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.
- Låt
= { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och
= { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen
![{\displaystyle F\times G=\{\emptyset \times \emptyset ,\emptyset \times Y,X\times \emptyset ,X\times Y\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534136a2802cf1108e88b751061083d7e07236f2)
- Om vi tar de två elementen
och
, så måste deras union
![{\displaystyle A\cup B=\{\emptyset \times Y,X\times \emptyset \))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b029d42f23d956764c2143508b6a6205153c8ea)
- vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten
.
Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på
är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen
ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är
Sigma-algebra genererad av flera avbildningar
Låt
och
vara två avbildningar från det mätbara rummet
till det mätbara rummet
.
Unionen
av det två sigma-algebrorna
och
är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på
; det är däremot sigma-algebran
.
Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver
.
På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran
genererad av avbildningar
från det mätbara rummet
till det mätbara rummet
.
Doob-Dynkins lemma
Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet
till det mätbara rummet
:
![{\displaystyle f,g:X\longrightarrow Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cf43ae29be92a72de7abf9ff5890cf3643f2a8)
Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:
![{\displaystyle g=F\circ f,\qquad F:Y\longrightarrow Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e336c778e9deb90110f4daffb8a84e6e144f560c)
Skrivet på "matematiska":
![{\displaystyle g\in \sigma (f)\quad \Longleftrightarrow \quad \exists \,F:g=F\circ f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308b78fe925b4537ce4614b1fdf353bc36065bb2)
Bevis av Doob-Dynkins lemma
Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:
![{\displaystyle g^{-1}({\mathcal {G)))\subseteq f^{-1}({\mathcal {G))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a13ca88f98b290b6fab1a8ca0cadaa27803466f)
Varje element
motsvaras då av ett element
som är sådant att
![{\displaystyle g^{-1}(A)=f^{-1}(B_{A}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee75da69ff0bcccf3f45b9fef364714eb8dd2b0)
Denna association definierar en mätbar avbildning,
på mängden Y:
![{\displaystyle F^{-1}(A)=B_{A},\quad A\in {\mathcal {G)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3862521e0a99035e018a4e7118e29d2cf53a07d)
Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:
![{\displaystyle g^{-1}(A)=f^{-1}(F^{-1}(A))=(F\circ f)^{-1}(A),\quad A\in {\mathcal {G)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ecd5a5db6af39839a85211088803bb19d9856a7)