Riemannintegral , skapad av Bernhard Riemann , var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler . Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen , som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.
Kolonnapproximation med Riemannsummor för Riemannintegralen. Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner f : [a ,b ] → ℝ med en "kolonnapproximation" . Först delas [a ,b ] upp i mindre intervall och sedan väljs en punkt från varje intervall. Då fås en kolonn med intervallets bredd b – a och funktionen f :s värde i den utvalda punkten som höjd. En riemannsumma är summan av kolonnernas area. Riemannsummorna approximerar arean under en funktionskurva och riemannintegralen definieras som ett gränsvärde av riemannsummor.
Mer precist, partionera [a ,b ] så att ett antal mindre intervall bildas enligt
Δ
i
=
[
c
i
−
1
,
c
i
]
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle \Delta _{i}=[c_{i-1},c_{i}]\subset [a,b]\,}
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle i=1,2,...,n\,}
,och välj en punkt ξi ∈ Δi . Då definierar paret
(
f
(
ξ
i
)
,
Δ
i
)
{\displaystyle (f(\xi _{i}),\Delta _{i})\,}
en kolonn vars area är
f
(
ξ
i
)
ℓ
(
Δ
i
)
{\displaystyle f(\xi _{i})\ell (\Delta _{i})\,}
där ℓ är längden av intervallet:
ℓ
(
Δ
i
)
=
ℓ
(
[
c
i
−
1
,
c
i
]
)
=
c
i
−
c
i
−
1
{\displaystyle \ell (\Delta _{i})=\ell ([c_{i-1},c_{i}])=c_{i}-c_{i-1))
.En n -riemannsumma för f , n ∈ ℕ definieras som talet
R
n
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
ℓ
(
Δ
i
)
{\displaystyle R_{n}(f):=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\ell (\Delta _{i})}
,det vill säga som summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen f är talet
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
:=
lim
n
→
∞
R
n
(
f
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx:=\lim _{n\rightarrow \infty }R_{n}(f)}
det vill säga, bästa approximationen för arean under f :s funktionskurva.
Riemann definierade endast riemannintegralen i ℝ men metoden kan generaliseras till ℝn med samma kolonnapproximation. Låt
B
=
[
a
1
,
b
1
]
×
…
×
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle B=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}
vara ett n -rätblock i ℝn och f : B → ℝ vara en begränsad funktion. Först partioneras B i n -rätblock
B
i
⊂
B
{\displaystyle B_{i}\subset B\,}
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\,}
och sedan väljs ξi = (ξi,1 , …, ξi,n ) ∈ Bi . Då definierar paret
(
f
(
ξ
¯
i
)
,
B
i
)
{\displaystyle (f({\overline {\xi ))_{i}),B_{i})\,}
en n -dimensionell kolonn vars mått är
f
(
ξ
¯
i
)
V
(
B
i
)
{\displaystyle f({\overline {\xi ))_{i})V(B_{i})\,}
där V är n -dimensionella volymen för rätblocket:
V
(
B
i
)
=
V
(
[
c
i
,
1
,
c
i
+
1
,
1
]
×
…
×
[
c
i
,
n
,
c
i
+
1
,
n
]
)
=
ℓ
(
[
c
i
,
1
,
c
i
+
1
,
1
]
)
…
ℓ
(
[
c
i
,
n
,
c
i
+
1
,
n
]
)
=
∏
k
=
1
n
(
c
i
+
1
,
k
−
c
i
,
k
)
{\displaystyle V(B_{i})=V([c_{i,1},c_{i+1,1}]\times \ldots \times [c_{i,n},c_{i+1,n}])=\ell ([c_{i,1},c_{i+1,1}])\ldots \ell ([c_{i,n},c_{i+1,n}])=\prod _{k=1}^{n}(c_{i+1,k}-c_{i,k})}
En n -riemannsumma för f , n ∈ ℕ definieras som talet
R
n
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
¯
i
)
V
(
B
i
)
{\displaystyle R_{n}(f):=\sum _{i=1}^{n}f({\overline {\xi ))_{i})V(B_{i})}
,det vill säga, som summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion f är talet
∫
a
1
b
1
∫
a
2
b
2
…
∫
a
n
b
n
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
d
x
1
d
x
2
…
d
x
n
:=
lim
n
→
∞
R
n
(
f
)
,
{\displaystyle \int _{a_{1))^{b_{1))\int _{a_{2))^{b_{2))\ldots \int _{a_{n))^{b_{n))f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}:=\lim _{n\rightarrow \infty }R_{n}(f),}
det vill säga, bästa approximationen för (n + 1)-dimensionella måttet under f :s funktionskurva.