Sätt och .
Enligt Pythagoras sats är då
vilket medför att ![{\displaystyle a={\frac ((\sqrt {5))r}{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc96e2e1ad9b18bfcaa0f08e5d07c9e79ffd3bd2)
Sätt och . Då är
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {5))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85e4480c88f90e2d926fd0a7546787a7e25b730)
Sätt slutligen (vilket också innebär att och , eftersom alla radier i en cirkel är lika långa).
Ur ovanstående följer enligt cosinussatsen att
![{\displaystyle d^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\,a\cos \alpha ={\frac {5r^{2)){2))-{\frac {5r^{2)){2)){\frac {1}{\sqrt {5))}={\frac ((\sqrt {5))r^{2)){2))\left({\sqrt {5))-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b71f6718419eb0aae3d7850e393285068ea05c7)
Enligt cosinussatsen är då
.
Detta medför att
![{\displaystyle \ \beta =72^{\circ }={\frac {360^{\circ )){5))\quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37012e7254bcbfc99f18e791970821ef2b6bc3b7)
vilket visar att alla vinklar mot O av sidorna i AEGHF är lika stora, vilket medför att pentagonen verkligen är regelbunden.
Nyckelresultatet (1) kan exempelvis visas enligt:
Enligt identiteterna för de trigonometriska funktionerna är
.
Efter upprepad användning av trigonometriska funktioner för dubbla vinkeln är
.
Ur likheten
![{\displaystyle \cos 18^{\circ }=2\cdot 2\sin 18^{\circ }\cos 18^{\circ }\left(1-2\sin ^{2}18^{\circ }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93d5d4a3c90b93cb41a653e2d9ed1a5f17936f2)
erhålls genom att sätta
![{\displaystyle x=\sin 18^{\circ ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1139be60a9f6c0762dde23a5e38a9966bac4f9)
ekvationen
![{\displaystyle 1=4x\left(1-2x^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cf937a2c456f356f43c3651f3463baf34b5c1e)
vilken har lösningarna
![{\displaystyle x_{1}=-{\frac ((\sqrt {5))+1}{4)),\quad x_{2}={\frac ((\sqrt {5))-1}{4)),\quad x_{3}={\frac {1}{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc47c682f05914ea7d885d7acc97c84da650d551)
varav och förkastas.
Alltså är
![{\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac ((\sqrt {5))-1}{4))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7744420a78eef1a9f7a6de74b8d50147e1ec003)
och enligt identiterna för de trigonometriska funktionerna är därför
![{\displaystyle \cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }=\cos \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a89561cf0bc19c87802d6ad72d51f8acc80fb8a)
och alltså gäller verkligen att Β är , vilket är (1), det som skulle visas.
|