Legendrepolynom är inom matematik en speciell sorts polynom. De har även kallats klotfunktioner. Det l:te Legendrepolynomet P_l kan fås genom Taylorutvecklingen:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xy+y^{2))))=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(x)y^{l},~~(|x|\leq 1,y<1).}$

Vänsterledet expanderas med koefficienter i form av Legendrepolynom, varav några termer i högerledet kan användas som dess approximation. Eftersom y < 1 används inom fysiken endast de första tre termerna: dessa motsvarar monopol (laddning), dipol och kvadrupol.

Polynomen kan även fås som lösningar till Legendres differentialekvation:

${\displaystyle {\frac {d}{dx))\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx))P_{n}(x)\right)+n(n+1)P_{n}(x)=0}$

Polynomen kan också genereras med de rekursiva relationerna

${\displaystyle P_{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x}$

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$

En annan härledning kan fås genom att applicera Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess på polynomen 1, x, x², ... med avseende på den inre produkten i L² över intervallet -1 < x < 1. Legendrepolynomen är alltså ortogonala med avseende på den inre produkten i L²(-1,1):

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={\frac {2}{2n+1))\delta _{mn))$

Legendrepolynomen används bl.a. inom elektrostatik som bas^{[särskiljning behövs]} för multipolutveckling av potentialen.

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{-n-1 \choose k}\left({\frac {1-x}{2))\right)^{k}=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}((\frac {n+k-1}{2)) \choose n))$

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!))\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n))\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$

För alla ${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{+1,-1\))$ gäller

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi ))\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1))\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi .}$

• Gegenbauerpolynom
• Jacobipolynom
• Klotytefunktion

• Wikimedia Commons har media som rör Legendrepolynom.
  Bilder & media