Dubbelt Mersennetal är inom matematiken ett Mersennetal av formen
där p är en Mersenneprimtalsexponent.
Talföljden av dubbla Mersennetal börjar med:[1]
Ett dubbelt Mersennetal som även är primtal kallas för dubbelt Mersenneprimtal. Eftersom ett Mersennetal Mp kan vara primtal om och endast om p är ett primtal (se artikeln Mersenneprimtal för ett bevis) kan ett Mersennetal vara primtal om Mp i sig är ett Mersenneprimtal. De första värdena för p, för vilka Mp är ett primtal är p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Av dessa är känt för att vara primtal för p = 2, 3, 5, 7. För p = 13, 17, 19, 31 har explicita faktorer funnits som visar att motsvarande dubbla Mersennetal är inte primtal. Således, den minsta kandidaten för nästa dubbla Mersenneprimtal är eller 22305843009213693951 − 1. Cirka 1,695 × 10694127911065419641 är för stort för alla nu kända primtalstest. Talet har ingen primtalsfaktor lägre än 4 × 1033.[2] Det finns förmodligen inga andra dubbla Mersenneprimtal än de fyra redan kända.
Skriv istället för . Ett specialfall av dubbla Mersennetal är den rekursivt definierade följden:
som kallas Catalan–Mersennetal.[3] Det sägs att[1] Catalan kom med denna följd efter upptäckten av prima av M(127)=M(M(M(M(2)))) av Lucas år 1876.[4] Catalan förmodade att de, upp till en viss gräns, är alla primtal.[förtydliga]
Även om de fem första termerna (upp till ) är primtal, kan inga kända metoder avgöra om något mer av dessa tal är primtal (i någon rimlig tid) bara för att talen i fråga är alltför stora, om inte prima av M(M(127)) motbevisas.
I Futurama-filmen The Beast with a Billion Backs ses det dubbla Mersennetalet i kort som "ett elementärt bevis på Goldbachs hypotes". I filmen kallas detta tal för ett "marsianprimtal" (engelska: martian prime).
|