Pogledajmo linijski integralvektorskog polja duž zatvorne krivulje koja ograničava površinu . Premostimo krivulju
nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije (). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne
linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i
za velik broj razdioba početne površine :
Uzmimo sada omjer te vrijednosti i infinitezimalno malog dijela površine koji okružuje krivulja . Pustimo li da , odnosno , dobivamo graničnu vrijednost koja predstavlja skalarnu veličinu pridruženu određenoj točki prostora, pa je
stoga možemo smatrati komponentom vektora. Pomnožimo li dati izraz s vektorom normale, dolazimo upravo do definicije rotacje ili
rotora vektorskog polja:
Svojstva i pretpostavke
Nije nužno da ploha omeđena krvuljom koju promatramo leži u ravnini, traži se jedino da ta ploha nema singularnosti.
Nadalje,
pretpostavlja se da se vektor normale ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli.
Rotor je, kao i Divergencija, također invarijanta vektorskog
polja.
Rotor u kartezijevu sustavu
Kako bismo izveli izraz za rotor u kartezijevu sustavu, napravimo integraciju po rubu
pravokutnika paralelnog s - ravinom (), kao na sl.
Uvršatavanjem u
definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:
Očito u danoj
fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu determinantu:
Nadalje, očito je
pa često označavamo s
, gdje je Hamiltonov operator.
Rotacija i Stokesov teorem
Za rotaciju vrijedi Stokesov teorem
Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavima
u cilindričnom:
u sfernom:
Rotacija i algebarske operacije
Neka su dana vektorska polja i , skalar,
skalarna funkcija i radij-vektor . Tada vrijedi:
Primjeri
Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja, :
Rotor vektorskog polja obodne kružne brzine, (v. sl.).
Odatle se lako mogu iščitati komponente kutne brzine:
Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine
je polarni vektor, a vektor
je aksijalni vektor. Međutim, to
vrijedi i
općenito: rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.