Laplasov operator, u matematici, je eliptički diferencijalni operator drugog reda. Ima brojne primene širom matematike, te u fizici, elektrostatici, kvantnoj mehanici, obradi snimaka, itd. Nazvan je po francuskom matematičaru Pjeru Simonu Laplasu.
Imajući u vidu pojmove divergencije i gradijenta, za datu skalarnu funkciju , biće:
- ,
što se može napisati kao:
- .
Desna strana poslednjeg izraza, bez oznake za funkciju , predstavlja Laplasov operator i obeležava se sa delta - Δ:
- .
Koristeći operator nabla, taj izraz možemo zapisati kao:
Koordinatni izrazi
U jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu Laplasov operator je:
U trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu je :
U trodimenzionalnom cilindričnom koordinatnom sistemu je:
U trodimenzionalnom sfernom koordinatnom sistemu je :
U Euklidskom prostoru Laplasov operator je dat u standardnim koordinatama kao
- .
Laplasov operator u opštim krivolinijskim koordinatama dan je sa:
- gde su Lameovi koeficijenti.
U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom Laplasijan je dan sa:
a metrika prostora definisana je sa:
- .
Svojstva
Laplasov operator je linearan:
Takođe važi :
Uopštenja
Laplasov operator se može uopštiti na više načina. Dalamberov operator je definisan na prostoru Minkovskog. Laplas-Beltramijev operator je eliptički diferencijalni operator drugog reda definisan na svakoj Rimanovoj mnogostrukosti. Laplas-de Ramov operator dejstvuje na prostorima diferencijalnih formi na pseudo-Rimanovim površima.