În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.
Exemplu
Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul
:
- Pentru
![{\displaystyle s>1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b11ccf4fea238663a592d7e5ae55a8d35d79d6f)
- Pentru
, fie numărul natural
astfel ales încât
.
- Cu acoperirea specială
pentru
pentru
.
- Urmează
.
- Pentru
![{\displaystyle s<1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57919a33c448816448cb28f87508fe332040b2cc)
- Deoarece
, avem:
.
- Cum însă
intervalul
acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:
![{\displaystyle \geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b34c845c116769f3d5b758edd156e5251bb1aa)
- Rezultă:
.
- Deci:
.
- Pentru
:
- Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:
.
- Așadar:
.