Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito . Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.
significa que, para índices suficientemente grandes, os termos da sequência estão arbitrariamente próximos do valor Neste caso, dizemos que o limite da sequência é
A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice , os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de quanto solicitado.
Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto com , o desafiado deve exibir um número natural tal que com tem-se que .
Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:[1]
Suponhamos que é uma função real e que é um número real. A expressão:
significa que se aproxima tanto de quanto quisermos, quando se toma suficientemente próximo de .[2][3] Quando tal acontece dizemos que o limite de , à medida que se aproxima de , é .
Note-se que esta definição não exige (ou implica) que , nem sequer que esteja definida em . Agora, no caso de existir (estar definido) e
à medida que se aproxima de , i.e busquemos calcular
Neste caso, está definida em e é igual ao seu limite: vejamos:
f(1,9)
f(1,99)
f(1,999)
f(2)
f(2,001)
f(2,01)
f(2,1)
0,4121
0,4012
0,4001
0,4
0,3998
0,3988
0,3882
À medida que aproxima-se de , aproxima-se de e consequentemente temos
Ou seja, é contínua no ponto .
Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):
O limite de à medida que se aproxima de é (tal como no exemplo acima), mas
e consequentemente não é contínua em .
Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua:
Apesar de não estar definida em , pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que
h(0,9)
h(0,99)
h(0,999)
h(1.0)
h(1,001)
h(1,01)
h(1,1)
1,95
1,99
1,999
não está definido
2,001
2,010
2,10
Observa-se que pode ser tomado tão próximo de quanto quisermos, sem no entanto ser igual a , donde infere-se que o limite de é .[3]
Definição formal
A definição ε-δ de limite.
Sejam um intervalo de números reais, e uma função real definida em Escrevemos
quando para qualquer que seja existe um tal que para todo satisfazendo vale [1]. Ou, usando a notação simbólica:
Exemplos de provas de limites
Exemplo 1
Supondo um
Dividindo por 3 em ambos os lados:
O que prova o limite com
Exemplo 2
Supondo um
E isso completa a prova com
Aproximação intuitiva
A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.
Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.
Por exemplo, imaginemos a função: e imaginando (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos:
que nos dá: ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:
Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998
Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:
Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: nos reais, calcular o limite da função quando Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1:
Ou seja, para a resolução fazemos:
Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:
Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função descrita nos exemplo acima, por exemplo:
Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.
Limites em funções de duas ou mais variáveis
A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:[4]
Seja uma função do tipo:
Em que é um vector com coordenadas e um número real. Se for um vector com coordenadas, então:
Em que é a função distância.
Exemplo
Uma função do tipo:
pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.
Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).
Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.
Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.
De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:
o limite pode ser testado através de vários caminhos.
Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:
Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):
o limite através do eixo dos ou seja,
Nesse caso o limite L é zero.
o limite através do eixo dos ou seja,
Nesse caso, o limite L é também zero.
Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.
Vamos, então, provar que
Ou seja, provar que
Vamos procurar escrever em função de
Se escolhermos então, pela segunda desigualdade, o que prova o nosso limite.
Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:
que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:
a função toma a forma
Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.