Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

O fecho de um conjunto ${\displaystyle X}$, denotado por ${\displaystyle {\overline {X))}$, é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.^[1]

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.^[2]

• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X (${\displaystyle {\overline {X))}$) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e ${\displaystyle X'}$ (=conjunto dos pontos aderentes): ${\displaystyle {\overline {X))=X\cup X'}$ ^[3]. Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto ${\displaystyle X=\left(0,3\right)}$, então seu fecho será o conjunto fechado ${\displaystyle {\overline {X))=X\cup X'=\left[0,3\right]}$^[4].

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

• O fecho do conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos números racionais é a reta ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Também o fecho do conjunto ${\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )}$ dos números irracionais é ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )}$ não são conjuntos fechados.^[5]
• O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.^[2]

Referências

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada