Twierdzenie Wilsona – twierdzenie w teorii liczb. Mówi ono, że liczba naturalna
jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
![{\displaystyle (p-1)!+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cfd25ee2b763467e4925821e3cfc9a365d7b5e4)
jest podzielna przez
[1][2].
Twierdzenie zostało odkryte przez Johna Wilsona, będącego studentem Edwarda Waringa. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w 1773 roku Lagrange dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to Leibniz był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu)[potrzebny przypis].
Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej, czy jest pierwsza. Ponieważ nie są znane efektywne algorytmy obliczania silni, twierdzenia tego nie da się łatwo stosować w badaniu pierwszości liczb.
Dowód
Najpierw załóżmy, że
jest liczbą pierwszą. Twierdzenie zachodzi dla
oraz
Więc dodatkowo załóżmy, że
Klasy liczb całkowitych mod
tworzą ciało
Rozpatrzmy w nim równanie:
![{\displaystyle x^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7afa15b7f1194adef53e030eace30a678d609a)
Ma ono te same rozwiązania co równanie
czyli
![{\displaystyle (x-1)\cdot (x+1)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8a5e333613a5f9bb5b20cd8bf92439041a96c7)
W ciele iloczyn niezerowych czynników jest niezerowy. Więc jedynymi rozwiązaniami powyższego równania są
oraz
(w ciele
dla
różnego od 2, zachodzi nierówność
). Wynika stąd, że jedynymi elementami ciała
które są odwrotne do siebie, są 1 i –1. Zatem zbiór pozostałych niezerowych elementów ciała rozpada się na rozłączne pary elementów
o iloczynie
gdzie
Stąd wnioskujemy iż iloczyn wszystkich, poza 1 oraz –1, niezerowych elementów ciała, jako iloczyn iloczynów takich par, wynosi 1, co oznacza, że:
![{\displaystyle 2\cdot \ldots \cdot (p-2)\equiv 1\mod p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05144920f971f6fd93ebc69e331723a98f8c6b32)
Po przemnożeniu powyższej kongruencji przez
czyli przez
(co jest tym samym mod
), oraz po dopisaniu nieszkodliwego 1 po lewej, otrzymujemy:
![{\displaystyle 1\cdot \ldots \cdot (p-1)\equiv -1\mod p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e27d62a1d79ddf783815a882ef1618ad65d559f)
czyli
jest podzielna przez
Wykażemy teraz twierdzenie przeciwne i w tym celu przypuśćmy, że
jest złożoną liczbą naturalną. Wtedy istnieją takie dzielniki właściwe
oraz
liczby
że
Wtedy
Zatem
![{\displaystyle a\cdot b\ |\ (p-1)!\cdot b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c8420f921b42b51ca252dd5d674e9a77e7fe6c)
i stąd (pamiętając, że
)
![{\displaystyle (p-1)!\cdot b\equiv \;0\mod p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f3b5872e3a44649bc0097e586d1c59656a9d99)
więc
![{\displaystyle (p-1)!\cdot b\not \equiv (-1)\cdot b\mod p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a741c2996f7d23615082d0d765f656e2f8abf829)
Tak więc
![{\displaystyle (p-1)!\ \not \equiv \ -1\mod p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bcdd36d849e1d0a004bb0cb83971fac297b772)
i liczba
nie jest podzielna przez
Uogólnienie
Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa Gaussa:
![{\displaystyle \prod _{a=1 \atop \operatorname {NWD} (a,m)=1}^{m}\!\!a\ \equiv \ \left\((\begin{matrix}-1\ ({\text{mod ))m)&{\text{gdy ))\ m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha },\\\quad 1\ ({\text{mod ))m)&{\text{w innych wypadkach)),\end{matrix))\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a4dbcb62f031da81497e3109eab69bc3551497)
gdzie
jest liczbą pierwszą większą od 2.
Dla
zachodzi
![{\displaystyle -1\equiv 1({\text{mod ))2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01b472c442481133ec9a1c5432e1afeef0249ad)
więc równie dobrze można dodać
do drugiej gałęzi wzoru.