Ten artykuł należy dopracować:od 2011-02 → zweryfikować treść i dodać przypisy, od 2023-03 → usunąć nieencyklopedyczne treści, od 2023-03 → usunąć nieistotne ciekawostki / istotne informacje z sekcji „Ciekawostki” przenieść do artykułu, brak bliższej informacji o tym, komu twierdzenie było znane wcześniej, wątpliwe wyrażenie „poprzeczna”. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon ((Dopracować)) z tego artykułu.
Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii[1], choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).
Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli[2]
Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:
skrótowo zapisywane zwykle jako
co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:
Niech oznaczają punkty przecięcia pewnej płaszczyzny z krawędziami czworościanu leżące odpowiednio na odcinkach Wówczas zachodzi równość:
Dowód polega na zrzutowaniu wierzchołków czworościanu na przecinającą go płaszczyznę, skorzystania z podobieństwa par trójkątów prostokątnych złożonych z wierzchołków leżących na danej krawędzi, ich rzutów i punktu przecięcia krawędzi i płaszczyzny, a następnie pomnożenia uzyskanych równości tak by po jednej stronie uzyskać wyrażenie z tezy.
Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość
to punkty leżą na jednej płaszczyźnie, jest również prawdziwe.
↑S. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 38.
↑Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.