Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna, aksjomatycznie zdefiniowana grupa jest izomorficzna z pewną grupą przekształceń pewnego zbioru; innymi słowy, jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące podgrup grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Dowód tego jest dziś łatwy, ale historycznie uświadomienie sobie tego w XIX wieku było znaczącym krokiem, wymagało zmiany myślenia o algebrze. Istotnego kroku dokonał Arthur Cayley.
Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru[1]. W szczególności, każda grupa skończona rzędu
zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej
[2].
Wykażemy, że każda grupa
jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji
zbioru
Niech
będzie dowolnym elementem grupy
i niech
będzie odwzorowaniem takim, że:
gdzie
Odwzorowanie
jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem
Ponadto dla dowolnego
istnieje element
taki, że
Takim elementem jest
Czyli
jest przekształceniem grupy
na siebie, tzn.
Zauważmy jeszcze, że dla
zachodzi
dla dowolnego
Stąd
i zbiór odwzorowań
jest grupą, w której
jest elementem neutralnym oraz
Określmy teraz odwzorowanie
w następujący sposób:
dla ![{\displaystyle a\in \mathbb {G} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6319dee22c6713c1d07e28a3a0f1bca4c3eabe8)
Jest ono iniektywne, bowiem
a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że
jest homomorfizmem, bo
Stąd
jest zanurzeniem izomorficznym grupy
w grupę
- q.e.d.[3]
Zdefiniowany w dowodzie izomorfizm
nazywa się niekiedy reprezentacją regularną
Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, iż działanie
grupy
na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.
Burnside[4] przypisuje to twierdzenie Jordanowi[5], jednak Eric Nummela[6] uważa, że nazwa twierdzenie Cayleya jest właściwsza.
Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayleyowi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia, tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. I mimo że sam Cayley w swojej pracy[7] nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.
- ↑ Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258, Twierdzenie 13.1.
- ↑ Gleichgewicht 2004 ↓, s. 259, Wniosek 13.1.
- ↑ Gleichgewicht 2004 ↓, s. 258-259, Twierdzenie 13.1 – Dowód.
- ↑ WilliamW. Burnside WilliamW., Theory of Groups of Finite Order, wyd. 2 ed., Cambridge, 1911, ISBN 0-486-49575-2 . Brak numerów stron w książce
- ↑ CamilleC. Jordan CamilleC., Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris: Gauther-Villars, 1870 . Brak numerów stron w książce
- ↑ Eric C.E.C. Nummela Eric C.E.C., Cayley’s Theorem for Topological Groups, „American Mathematical Monthly”, 87 (3), Mathematical Association of America, 1980, s. 202–203, DOI: 10.2307/2321608, JSTOR: 2321608 (ang.).
- ↑ ArthurA. Cayley ArthurA., On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, „Philosophical Magazine”, 7 (42), 1854, s. 40–47 .