Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.
Według Matouška[1] ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku[2]. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku[3], gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.
Niech oznacza -wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej Dla dowolnej funkcji ciągłej
istnieje (co najmniej jeden) taki punkt że
Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Zazwyczaj wykorzystuje się je w dowodach.
1) Twierdzenie Borsuka-Ulama
2) Ciągła funkcja nieparzysta (czyli zachodzi: ) posiada taki że
3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie (dla ).
4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste na: odwzorowanie
Niech będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.
Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: dzięki nieparzystości dostaniemy ciągłe odwzorowanie: gdzie oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała
który na przybiera wartość ale: a To daje sprzeczność.