Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru
przestrzeni topologicznej T1 taki punkt
dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający
zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru
różny od
tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu
ze zbiorem
jest niepusty.
Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru[1].
- Punkt
jest punktem skupienia zbioru
wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru
[1].
- W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt
jest punktem skupienia zbioru
wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru
[1][2].
- Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt
należący do zbioru
jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru
różnych od ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
- Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu
znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru
to punkt
nazywamy punktem kondensacji zbioru
Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).
- Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli
(lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt
jest lewostronnym punktem skupienia zbioru
jeśli jest punktem skupienia zbioru
dla pewnego
Podobnie punkt
jest prawostronnym punktem skupienia zbioru
jeśli jest punktem skupienia zbioru
dla pewnego ![{\displaystyle x>x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7ad2b568629045240f59b737a03bf32ebdff6e)
- Punktem skupienia ciągu
nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu
Innymi słowy,
jest punktem skupienia
gdy dowolne otoczenie otwarte
zawiera pewien element ciągu
Ciąg zbieżny ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia (złożony z granicy ciągu). Z drugiej strony, ciąg
dla
nieparzystych i
dla
parzystych, ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia, ale nie jest zbieżny. Należy też być ostrożnym i rozróżniać punkt skupienia ciągu od punktu skupienia jego zbioru wyrazów. Np. ciąg
dla
jest zbieżny do 2 (i to jedyny element jego zbioru punktów skupienia), natomiast zbiór wyrazów ciągu
to
czyli zbiór, którego wszystkie punkty są izolowane. (Omawiane przykłady dotyczą ciągów na prostej rzeczywistej
).
- Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
- Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
- Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów
oraz
jest przedział
Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
- Zbiór
nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
- Jedynym punktem skupienia zbioru
jest
wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
- Jedynymi punktami skupienia zbioru
są
i
pozostałe punkty są izolowane.