Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie[2]. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.
Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.
Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował[4]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.
W oryginalnej publikacji[5], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako
gdzie jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek
Gdy to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi
Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.
Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.