Audun Kleive er sønn av organisten Kristoffer Kleive og bror av organisten Iver Kleive.[1][2] Han begynte å spille trommer i korps og med venner på ungdomsklubb. Etter å ha fullført skolegangen på Skien Gymnas, flyttet han til Oslo for å studere ved Norges musikkhøgskole. I Oslo var han med i jazzrockgruppa «Lotus» i perioden 1981-1983 og i «Oslo 13» i årene 1981-1984. Som medlem av «Oslo 13» platedebuterte han med albumet Anti-therapy i 1983.
1983-1990: Spilte i «AHA»/«Extended Nose»/«Extended Noise», utgav platene Keep Nose in Front (1984), Jamaha (1986) og Slow but Sudden, langsam aber plötzlich (1988-90)
1984: Medlem av Brødrene Balke Etno Funk (Kongsberg)
1984: Terje Rypdals trio The Chasers, utgav plater i 1985, 1986, 1988 og 1994
1986-89: Circulasione Totale Orchestra (Stavanger), utgav platene Accent (1987)
1986-92: Medlem av Oslo 13», utgav platene Off balance (1987) og Live (1992)
1987-90: Medlem av Trio 87, utgav plate i 1987 og hadde et engasjement i New York i 1989
I tillegg gjorde han flere turnéer og plater med svenske musikere, spesielt gruppa Entra Live. Han gjorde også innspillinger med blant andre Jon Eberson trio (1986), Jon Eberson/Sidsel Endresen (1987), Per Husby (1990), Palisanderkvartetten (1991–92), Jan Gunnar Hoff (1991, 95 og 96), Marilyn Mazur's Future Song (1994), Gunnar Andreas Berg (1996), Bugge Wesseltoft (New conception of jazz 1995-96), Bendik Hofseth (1997) og gruppa «Decoy» (1997).
Fra 1990 et fruktbart triosamarbeid med Jon Balke og Per Jørgensen. Sammen ga de ut platene On and on (1991), Jøkleba! (1992) og Jøkleba live (1994), samt en del av Jon Balkes «Magnetic North»-ensemble (1993)
Fra 1991 har Kleive arbeidet i en kvartett sammen med Nils Petter Molvær, Jens Bugge Wesseltoft og Bjørn Kjellemyr som utgav platen Åpent Øre (1991). Sammen med Jon Eberson lagde Kleive albumet Music for men and machines (1992).
I 1996 ble Audun Kleive, som eneste norske jazzmusiker, plukket ut som gjestesolist til «Europas kulturby» København. Samme år spilte han inn CD-en Going with the flow sammen med Olga Konkova og Carl Morten Iversen.
Kleives siste produksjoner i eget navn bærer tittelen Bitt (1996–97), Generator X (2000), Ohmagoddabl (2004) og Attack (2012)[3]
I 2003 medvirket Kleive på plater sammen med Jan Gunnar Hoff (in Town) og Rita Marcotulli (Koine), i 2004 Arve Henriksens Chiaroscuro og Daylight Stories med Marilyn Mazurs Future Song. Sammen med blant andre Jan Bang og Erik Honoré ga han ut albumet Crime Scenes i 2006.
^«Om oss». Audiopol. Besøkt 26. januar 2018. «Audiopol Studio ligger strategisk plassert i Ibsenhuset i Skien og eies og drives av Audun Kleive og Espen Gjelstad Gundersen. / Studioet ble bygd i 1998 og har siden da gjort en mengde innspillinger og stått for fremtredende utgivelser her til lands.»