In de lineaire algebra is de inverse matrix, of kort de inverse, van een vierkante matrix het inverse element van die matrix met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Een matrix heeft alleen een inverse als de determinant van de matrix ongelijk is aan 0. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix
, genoteerd als
, is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als
, die zowel links als rechts met
vermenigvuldigd de eenheidsmatrix oplevert.
Als van een stelsel vergelijkingen
de inverse
van
bekend is, kan voor wisselende waarden van de vector
, de vector
worden berekend. De oplossing is
.
Een
-matrix
heet inverteerbaar, als er een
-matrix
bestaat zodanig dat
![{\displaystyle AB=BA=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5adf5ba25c38c92570372dd3e6bbad249e617ef)
Hierin is
de eenheidsmatrix van orde
, ook wel aangeduid met
. De matrix
heet de inverse van
en wordt aangeduid met
.
Een inverteerbare matrix wordt ook regulier genoemd en een niet-inverteerbare singulier.
- Uniciteit: De inverse is eenduidig bepaald. Stel namelijk dat de
-matrix
ook een inverse is van
. Dan is
![{\displaystyle C=CI=C(AA^{-1})=(CA)A^{-1}=IA^{-1}=A^{-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee6917fbe432005d934a53f0aca60864308bbc4)
- Als
inverteerbaar is, is ook
inverteerbaar en
![{\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f04dd5a4180381105e117aaaf437ebe22b9eba7)
- Als
en
beide inverteerbare
-matrices zijn, is ook hun product
inverteerbaar en
![{\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eaffc1bb26134f9aa57c902fd32cc76f10c88b)
- Als
inverteerbaar is, en
is een reëel getal verschillend van 0, dan
![{\displaystyle (cA)^{-1}={\frac {1}{c))\ A^{-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aae4d8f83fd5afe1a6a7c0e045decebbef12c8e)
- De getransponeerde matrix
van een inverteerbare matrix
, is ook inverteerbaar en
![{\displaystyle (A^{\top })^{-1}=(A^{-1})^{\top ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ce8156ff09b146ed560be35facabb11313c9fa)
Voor een
-matrix
zijn de volgende uitspraken equivalent:
is inverteerbaar
- er is een
-matrix
zodat ![{\displaystyle AB=I_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe3b83d955596b1aa48a758c0efb9447f52d9ca)
- er is een
-matrix
zodat ![{\displaystyle CA=I_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f04b546144740985d3debe42dbac5fc71d7eef4)
- de determinant van
is verschillend van 0
- de vergelijking
heeft als enige oplossing ![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
- de vergelijking
heeft precies één oplossing voor elke ![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
is inverteerbaar
- de kolommen van
zijn lineair onafhankelijk
- de rijen van
zijn lineair onafhankelijk
- de rang van
is ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- de echelonvorm van
is de eenheidsmatrix
- alle eigenwaarden van
zijn verschillend van nul
- de lineaire operator horende bij
is inverteerbaar
- de lineaire operator horende bij
is injectief, surjectief, of beide.
Het daadwerkelijk berekenen van de inverse van een matrix is vaak een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt doordat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek gedaan, zowel theoretisch als praktisch, naar het ontwikkelen van algoritmen om een matrix te inverteren.
De inverse van de vierkante matrix
kan berekend worden met de formule
![{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A))){\rm ((adj}(A)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdaa0dabe6376ed2354f07e26d1be760624fdf71)
Hierin is
de determinant van
en
de geadjugeerde van
.
De 2×2-matrix
is inverteerbaar als de determinant van
ongelijk is aan 0:
. De inverse van
wordt dan gegeven door:
![{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{ad-bc))\ {\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7615e9432b33e3f7e2ea285348ffef9cc71be93)
De toepassing van deze formule vergt echter meestal veel rekenwerk.
Een van de numerieke methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare matrix
is door middel van Gauss-eliminatie de uitgebreide matrix
te herleiden tot
.
Inverteer:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0\\2&4&1\\2&1&0\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925294d0e858c68b8d320a14456c5d1c914aca8e)
Vorm de uitgebreide matrix
![{\displaystyle [A\mid I\;]=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\2&4&1&0&1&0\\2&1&0&0&0&1\end{array))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83cb0bbe9989344f69f297a1118609c913194ec)
Vegen:
Trek 2 keer de eerste rij af van de beide andere:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&0&1&-2&1&0\\0&-3&0&-2&0&1\end{array))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21066bcfb62e0dd2b545aa986c264d05ab0e6bef)
Verwissel de 2e en de 3e rij:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&-3&0&-2&0&1\\0&0&1&-2&1&0\end{array))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8774744780e943eecdaf5d82d3e575d47b12318)
Deel de 2e rij door –3:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&1&0&{\tfrac {2}{3))&0&-{\tfrac {1}{3))\\0&0&1&-2&1&0\end{array))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250a2f6f8270042da172aabdd27de79fb5d2e69e)
Trek 2 keer de 2e rij af van de 1ste:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-{\tfrac {1}{3))&0&{\tfrac {2}{3))\\0&1&0&{\tfrac {2}{3))&0&-{\tfrac {1}{3))\\0&0&1&-2&1&0\end{array))\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94f0e3fd6fb1f5ae47610823059a34a555716ec)
De inverse is dus:
![{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}-{\tfrac {1}{3))&0&{\tfrac {2}{3))\\{\tfrac {2}{3))&0&-{\tfrac {1}{3))\\-2&1&0\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0bea09278dede29505c735ad61bc47e30f750c)
Voor een niet-vierkante matrix
kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met
een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter wel de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.