De driehoeksongelijkheid zegt dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn is. Gaat men via een omweg over het punt P van het punt A naar het punt B dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat. Als P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.
Meetkundige interpretatie
Voor elk drietal punten A, B en P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met
de afstand tussen A en B:
![{\displaystyle \mathrm {|AB|<|AP|+|BP|} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aff33dd0e2361fcf23c4709352a5606b0b57b3)
Als A, B en P op één lijn liggen en P bevindt zich tussen A en B, geldt
![{\displaystyle \mathrm {|AB|=|AP|+|BP|} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb198513c172fcb06a3e6c0204fc04623e29d9eb)
Driehoeksongelijkheid in een algemene vectorruimte
- De eerste driehoeksongelijkheid
Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:
![{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4359c19d7e5ed2677bd29b8d46791de01b935b5b)
voor alle vectoren
en
.
Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de
-norm hieraan voldoet.
Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:
De norm induceert een afstand
die voldoet aan de
driehoeksongelijkheid voor een afstand:
![{\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\leq |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9a62d56d32d7f7f4cec7cdf719df6a0bcb29a7)
Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product
gegeven is, wordt door de definitie
![{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a885f02102ba1179708035546be39be936979b3)
een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.
![{\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2{\hbox{Re))\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \langle x,x\rangle +2{\sqrt {\langle x,x\rangle )){\sqrt {\langle y,y\rangle ))+\langle y,y\rangle =\left({\sqrt {\langle x,x\rangle ))+{\sqrt {\langle y,y\rangle ))\right)^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce12dee575661cacc4c587332ee2f2d922642fd)
- De tweede (ook wel omgekeerde) driehoeksongelijkheid
Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op
geeft:
![{\displaystyle \|(u-v)+v\|\leq \|u-v\|+\|v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5001e510b675da39f21be66dc26353248adcba98)
dus
![{\displaystyle \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4412b78bb07c9c82bc65c747047d3fa361e932e3)
Toepassen op
geeft bovendien:
![{\displaystyle \|(v-u)+u\|\leq \|v-u\|+\|u\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01827f91d39baa894bb71b113f18a9c53fe20054)
dus
![{\displaystyle \|v\|-\|u\|\leq \|v-u\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea95019de9d434188a1504e7c62fc0af116cfb7)
maar dan ook:
![{\displaystyle \|u\|-\|v\|\leq \|v-u\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696aa08a0254c59c2aeadde979c3d0a31d876b0b)
dus
![{\displaystyle {\bigg |}\|u\|-\|v\|{\bigg |}\leq \|u-v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43056aaf27077a3e3222986d232bf5d3a36710de)
Abstracte versie
De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling
geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.