Copia^[1] vel congregatus in mathematica est quorundam elementorum mathematicorum collectio. Secundum definitionem Georgii Cantoris, "copia est comprehensio elementorum cogitationis nostrae bene discretorum in unum". Quae definitio omni rigore mathematico carens postea substituta est axiomatis a Zermelo et Fränkel positis, quibus efficitur, ut antinomia Russelliana (de copia copiarum, quae semet ipsas non continent, num se ipsam contineat) excludatur.

In philosophia, copia dicitur obiecta abstracta.^?

Denotationes et definitiones

Denotationes

• Copiae denotari solent parenthesibus "{" et "}" usurpatis initium aut finem copiae indicentibus. Sunt duae formae copiae: una elementa enumerans, exemplo {1,2} aut {Gaius, Petrus, Marcus}. Altera elementa describens variabili vel variabilibus et sententia vel sententiis usa: Ad quae elementa sententia sequens (praedicatum) pertinet, ante symbolis : aut | notatur variabilibus in parenthesibus "(" et ")" iterum adiectis. Ergo: ${\displaystyle \lbrace x:\ S(x)\rbrace .}$ Si ${\displaystyle x_{0))$ elementum huius copiae sit (id est: valet praedicatum variabili ${\displaystyle x_{0))$), notatur ${\displaystyle x_{0}\in \lbrace x:S(x)\rbrace .}$

• Tales ${\displaystyle x}$ solent esse in copia superiore (id est: cuncta elementa quae illi etiam huic aliis fortasse addiditis insunt). Sit ${\displaystyle X}$ talis copia superior, tum scribi solet ${\displaystyle \lbrace x\in X:S(x)\rbrace .}$ Ut indicatur X talem esse copiam superiorem, scribi solet ${\displaystyle X\supset \lbrace x\in X:S(x)\rbrace }$ aut ${\displaystyle \lbrace x\in X:S(x)\rbrace \subset X.}$

Definitiones

• Copia cui nulla elementa insunt vacua vel inanis appellatur. Notatur symbolis ${\displaystyle \lbrace \rbrace }$ vel ${\displaystyle \emptyset .}$

• Copiae duae ${\displaystyle A,B}$ eaedem vel aequae appellantur, si copiae alteri ${\displaystyle A}$ eadem elementa ac alteri copiae ${\displaystyle B}$ insunt. Aequivalens, si ${\displaystyle A\subset B}$ et ${\displaystyle B\subset A}$. Ergo: ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subset B\land B\subset A.}$

• Coniunctioni duarum pluriumve copiarum omnia elementa e quaquam illarum insunt. Notatur symbolo ${\displaystyle \cup }$. Ergo: Sint ${\displaystyle A=\lbrace x:S_{1}(x)\rbrace }$ et
  ${\displaystyle B=\lbrace y:S_{2}(y)\rbrace .}$ Tum:
  ${\displaystyle A\cup B=\lbrace z:S_{1}(z){\text{ vel ))S_{2}(z)\rbrace =\lbrace z:S_{1}(z)\lor S_{2}(z)\rbrace =\lbrace x\in A\lor y\in B\rbrace .}$

• Sectioni duarum pluriumve copiarum sola ea elementa insunt, quae in unaquaquam eorum inveniuntur. Notatur symbolo ${\displaystyle \cap }$. Ergo: Sint
  ${\displaystyle A=\lbrace x:S_{1}(x)\rbrace }$ et ${\displaystyle B=\lbrace y:S_{2}(y)\rbrace .}$ Tum:
  ${\displaystyle A\cap B=\lbrace z:S_{1}(z){\text{ atque ))S_{2}(z)\rbrace =\lbrace z:S_{1}(z)\land S_{2}(z)\rbrace =\lbrace x\in A\land y\in B\rbrace .}$

• Differentiae duarum copiarum ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ elementa ex ${\displaystyle A}$ sola insunt quae copiae ${\displaystyle B}$ non insunt. Notatur symbolo \. Ergo: Sint ${\displaystyle A=\lbrace x:S_{1}(x)\rbrace }$ et
  ${\displaystyle B=\lbrace y:S_{2}(y)\rbrace .}$ Tum:
  ${\displaystyle A\setminus B=\lbrace z:S_{1}(z){\text{ atque non ))S_{2}(z)\rbrace =\lbrace z:S_{1}(z)\land \neg S_{2}(z)\rbrace =\lbrace x\in A\land y\notin B\rbrace .}$

• Productum Cartesianum duarum copiarum ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, quod cruce ${\displaystyle \times }$ denotatur, est copia haec: ${\displaystyle A\times B=\lbrace (x/y):x\in A{\text{ atque ))y\in B\rbrace =\lbrace (x/y):x\in A\land y\in B\rbrace .}$

Definitones super descriptae visuales per diagrammata Venniana factae:

• 
  ${\displaystyle A\subset B}$
  Copia A est copiae B inferior
• 
  ${\displaystyle A\cup B}$
  Coniunctio copiarum A et B
• 
  ${\displaystyle A\cap B}$
  Sectio copiarum A et B.
• 
  ${\displaystyle A\setminus B}$
  Differentia copiarum A et B

Exempla

Sint ${\displaystyle A=\lbrace 1,2,4,7\rbrace }$ et ${\displaystyle B=\lbrace 1,3,5,7,9\rbrace }$.

Tum:

• ${\displaystyle A\cup B=\lbrace 1,1,2,3,4,5,7,7,9\rbrace =\lbrace 9,7,1,2,3,4,5\rbrace .}$ Licet enim elementa semel vel compluries scribere. Ne ordo quidem interest.

• ${\displaystyle A\cap B=\lbrace 1,7\rbrace .}$

• ${\displaystyle A\setminus B=\lbrace 2,4\rbrace .}$

• ${\displaystyle A\times B=\lbrace (1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9)\rbrace .}$

Aequatio aliqua ut copia describens denotari potest et solutio eius aequationis copia enumerans est. Quae saepe - praecipue in scholis - copia solutionum appellatur. Aequatio quadratica exemplo:

${\displaystyle \lbrace x\in \mathbb {R} :x^{2}-2x-3=0\rbrace =\lbrace -1;3\rbrace .}$

Notae

Nexus interni

• Algebra Booleana
• Carteva
• Copia vacua
• N-plex
• Theoria copiarum

Nexus externi

• De copiis in encyclopaedia Wolfram MathWorld (Anglice)