Aequatio differentialis^[1] in mathematica est aequatio quae functiones unius aut multarum variabilium cum suis derivativis ordinat.^[2] Quae functiones in adhibitionibus quantitates corporeas plerumque repraesentant, derivativa eorum proportiones mutationis repraesentant, atque aequatio differentialis coniunctionem inter ea definit. Tales coniunctiones re vera saepe inveniuntur; ergo aequationes differentiales partes magni momenti in multis disciplinis agunt, inter quas sunt ars ingeniaria, physica, oeconomica, biologia.

Aequationibus differentialibus scribuntur multae leges in scientiis naturalibus. Theoria aequationum differentialium pars magni momenti est analysis. Saepe sunt solutiones functiones, quae illis functionibus satisfaciunt. Cum aliae solvi non possint, saepissime sunt approximandae, et rationes talium approximationum faciendarum sunt pars analysis numericae.^[3]

Historia

Saeculo septimo decimo, cum calculus infinitesimalis primum excogitaretur, coepit disciplina aequationis differentialis. Proposuit Isaacus Newtonus in opere Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum^[4] tria aequationum differentialium genera:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx))=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx))=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2))}=y\end{aligned))}$

Solutae sunt hae aequationes in eo opere.

Exempla

Ecce exempli aequationum differentialium ordinariarumin quibus sunt u functiones incognitae, x variabiles indenpendentes, c,ω et ceteri constantes.

• Aequatio differentialis gradus primi linearis non homogenea cum coefficientibus constantibus:

${\displaystyle {\frac {du}{dx))=cu+x^{2}.}$

• Aequatio differentialis gradus secundi linearis homogenea:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2))}-x{\frac {du}{dx))+u=0.}$

• Aequatio differentialis gradus secundi linearis homogenea cum coefficientibus constantibus, quae motus harmonicum describit:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2))}+\omega ^{2}u=0.}$

• Aequatio differentialis gradus primi non linearis non homogenea:

${\displaystyle {\frac {du}{dx))=u^{2}+1.}$

• Aequatio differentialis gradus secundi non linearis, quae pendulum longitudine L describit:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2))}+g\sin u=0.}$

Ecce exempli aequationum differentialium partialium，in quibus sunt u functiones incognitae，x vel t vel y variabiles indenpendentes.

• Aequatio differentialis partialis gradus primi linearis homogenea:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))+t{\frac {\partial u}{\partial x))=0.}$

• Aequatio Laplace, hoc est aequatio differentialis partialis ellipsis gradus secundi linearis homogenea cum coefficientibus constantibus.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0.}$

• Aequatio KdV (Korteweg-De Vries), hoc est aequatio differentialis partialis gradus tertii non homogenea:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))=6u{\frac {\partial u}{\partial x))-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3))}.}$

Genera

Aequatio differentialis ordinaria

Si plus cognoscere vis, vide etiam aequatio differentialis ordinaria.

Aequatio differentialis dicitur ordinaria, si modo functio incognita unius quantitatis variabilis et derivativa sua continet. Haec functio, quae ex x dependet, saepe y appellatur. Ita plerumque nominatur x variabilis independens.

Aequatio differentialis partialis

Si plus cognoscere vis, vide etiam aequatio differentialis partialis.

In aequatione differentiale, partiale continentur non solo functiones incognitae multarum variabilium, sed etiam derivativa partialia sua.

Aequatio differentialis non linearis

Aequatio differentialis non linearis consistit ex productis functionium incognitarum et derivativis suis. Vix possunt solutiones accuratae illarum aequationum inveniri, nisi illae aequationes quaedam symmetrias habent. Cum solutae non sint, adhibentur nonnumquam aequationes differentiales lineares propriae, ut solutiones approximent.

Gradus aequationis differentialis

Gradus, sive ordo aequationis significat maximum gradus derivativorum in ea aequatione. Si modo derivativum gradus primi adest (hoc est, ${\displaystyle f'(x)}$ vel ${\displaystyle {\frac {dy}{dx))}$), est aequatio gradus primi. Si derivativum gradus secundi adest (${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2))))$, ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x\partial t))}$ etc.), appellatur ea aequatio gradus secundi, et similiter sunt ceteri.^[5]

Usus

Simul primum adhibentur aequationes differentiales in scientiis naturalibus, maxime in physica, biologia, et chemia.

Physica

• Lex secunda motus Newtoni in mechanica classica.
• Aequatio Euler-Lagrange in mechanica classica.
• Aequationes Hamiltonis in mechanica classica.
• Lex refrigerationis Newtoni in thermodynamica
• Aequatio undae
• Aequatio Laplace
• Aequationes Maxwellianae in physica electromagnetica
• Aequatio Schroedingeris in Mechanica quantica
• Aequationes campi Einsteinianae in relativitate generale.

Biologia

• Aequatio Verhusti de mutatione populi
• Aequatio Lotkae-Volterrae de relatione praedatorium et praedarum

Notae

Bibliographia

• Braun, Martin. 1978. Differential Equations and their Applications. Novi Eboraci: Springer.
• Abbott, P., et H. Neill. 2003. Teach Yourself Calculus.
• Blanchard, P., Robert L. Devaney, et G. R. Hall. 2006. Differential Equations. Thompson.
• Boyce, W., R. DiPrima, et D. Meade. 2017. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley.
• Coddington, E. A., et N. Levinson. 1955. Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill. Archivum.
• Ince, E. L. 1956. Ordinary Differential Equations. Dover.
• Johnson, W. 1913. A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations. John Wiley and Sons. In University of Michigan Historical Math Collection. Editio interretialis.
• Polyanin, A. D., et V. F. Zaitsev. 2003. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Ed. secunda. Boca Raton Floridae: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Porter, R. I. 1978. Further Elementary Analysis.
• Teschl, Gerald. 2012. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providentiae Insulae Rhodensis: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. Editio interretialis.
• Zwillinger, Daniel. 2014. Handbook of Differential Equations. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0. Google Books.

Nexus externus

• J.F. Riccati : Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus. OBSERVATIONS REGARDING DIFFERENTIAL EQUATIONS of the second order. JACOPO RICATTI. Acta Eruditorum Lipsiae, 1724. Conversus et annotatus ab Ian Bruce (2007).
• Eulerus, Institutionum calculi integralis volumen primum sectio secunda De integratione aequationum differentialum.
• Eulerus, Institutionum calculi integralis volumen secundum.
• Eulerus, Institutionum calculi integralis volumen tertium.