Le successioni di Dirac sono successioni di funzioni che approssimano la delta di Dirac.
Facendone la convoluzione con una funzione continua f su un compatto si ottiene un'approssimazione unifome di f, che, con un'opportuna scelta iniziale, avrà certe proprietà (ad esempio può essere un'approssimazione polinomiale). In questo modo si possono dimostrare risultati importanti tra cui il teorema di Weierstrass, la convergenza per le serie di Fourier, la risoluzione del problema di Dirichlet per le funzioni armoniche su un disco, o l'approssimazione di una funzione in Lp ( Rm ) con una successione in C∞ ( Rm ).
Una successione { Kn }[1] di funzioni reali continue su Rm si dice di Dirac se:
Queste condizioni implicano che Kn converge in senso debole a δ ( x ).
Può capitare di trovare altre definizioni in letteratura, ad esempio con una famiglia continua di funzioni { Kφ } dove φ varia in un certo intervallo reale anzichè in N, oppure in cui il dominio non è Rm ma l' m-toro (quando si tratta con funzioni periodiche). L'idea rimane comunque la stessa, quando l'indice si avvicina ad un certo valore, Kφ approssima δ.
Possiamo ottenere una serie infinita di esempi partendo da una qualsiasi funzione φ : Rm → R≥0 continua, con supporto nella palla unitaria e tale che ∫ φ = 1, infatti si dimostra facilmente che in questo caso φk ( x ) = k m φ ( k x ) è di Dirac.
I nuclei di Landau sono delle funzioni che formano una successione di Dirac usata per l'appossimazione polinomiale nel teorema di Weierstrass. Si definisce φk : R → R≥0
dove χ è la funzione caratteristica e ck la costante che normalizza la funzione, cioè
in modo che ∫ φk = 1.
Per verificare che si concentrano in un intorno dell'orgine bastano un paio di stime. Infatti
cioè 1 / ck ≤ ( k + 1 ) / 2, quindi per 0 < δ < 1
che tende a 0 per k → +∞. Visto che φk è pari la stima per l'integrale da -1 a -δ è identica.
Il risultato fondamentale è:
Sia f : Rm → R quasi ovunque continua, limitata da un certo M (cioè -M < f ( x ) < M per ogni x), e sia X un compatto su cui f è continua. Fissata una successione di Dirac { K n }, chiamiamo f n la convoluzione di f con K n, cioè
allora f n converge uniformemente ad f su X per n → +∞.
Ricordando che f Kn = Kn f e che l'integrale di K n su Rm è 1 possiamo riscrivere
Per dimostrare che
si fissa un x ∈ X ed un suo intorno B sufficientemente piccolo, si spezza l'integrale quì sopra in due, uno su B e l'altro su X - B, usando la continuità di f e le proprietà di { K n } si riescono a maggiorare con una quantità infinitesima entrambi, infine, usando la compattezza, si trasporta il risultato locale a livello globale.
Entrando nei dettagli, dato ε > 0 ed x ∈ X, dalla continuità di f esiste un δx > 0 tale che
per ║ t ║ < δx. Spezzando l'integrale ed usando la disuguaglianza triangolare si ottiene
Troviamo delle maggiorazioni per i due termini. Dalla definizione di successione di Dirac esiste Nx tale che se n > Nx allora
e quindi (usando la limitazione | f ( x - t ) - f ( x ) | < 2 M )
mentre per l'altro addendo si ha
L'insieme { B ( x, δx ) } delle palle centrate in x di raggio δx è un ricoprimento aperto di X, quindi esiste un sottoricoprimento finito { B ( xi, δxi ) }i=1..n e per tutti gli n maggiori del massimo degli Nxi vale supx∈X | f n ( x ) - f ( x ) | < 2 ε.