In matematica, in particolare in analisi armonica, il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier di funzioni che appartengono all'intersezione dello spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue, denotato con ${\displaystyle L^{1))$, e lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato con ${\displaystyle L^{2))$. In particolare, l'applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad ${\displaystyle L^{2))$, è un'isometria da ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2))$ in ${\displaystyle L^{2))$ che può essere estesa in maniera unica ad un'isometria da ${\displaystyle L^{2))$ in sé.

Il teorema, provato per primo da Michel Plancherel, è valido nella versione astratta e sui gruppi abeliani localmente compatti. In maniera più generale, esiste una versione del teorema che ha senso per i gruppi non commutativi (non abeliani) localmente compatti che soddisfano determinate condizioni iniziali, ed è un problema dell'analisi armonica non commutativa.

Un caso particolare di questo teorema è il teorema di Parseval, nonostante quest'ultimo termine sia spesso utilizzato per descrivere l'unitarietà di ogni trasformata di Fourier, in particolar modo in fisica e in ingegneria.^[1]

Il teorema di Plancherel afferma che è possibile associare ad ogni funzione ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle L^{2))$ una funzione ${\displaystyle {\hat {f))}$ di ${\displaystyle L^{2))$ tale da soddisfare le seguenti proprietà:^[2]

• Se ${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2))$, allora ${\displaystyle {\hat {f))}$ è la trasformata di Fourier di ${\displaystyle f}$.
• Per ogni ${\displaystyle f\in L^{2))$ si ha:

${\displaystyle \|{\hat {f))\|_{2}=\|f\|_{2))$

• L'applicazione ${\displaystyle f\to {\hat {f))}$ è un isomorfismo da ${\displaystyle L^{2))$ in sé.
• Se:

${\displaystyle \phi _{A}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int _{-A}^{A}f(x)e^{-ixt}\,dx}$

e se:

${\displaystyle \psi _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi ))}\int _{-A}^{A}{\hat {f))(t)e^{ixt}\,dt}$

allora:

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\|\phi _{A}-{\hat {f))\|_{2}=0\qquad \lim _{A\to \infty }\|\psi _{A}-f\|_{2}=0}$

Dal momento che ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2))$ è denso in ${\displaystyle L^{2))$, le prime due proprietà implicano che l'applicazione ${\displaystyle f\to {\hat {f))}$ è unica, mentre l'ultima è detta anche teorema di inversione di ${\displaystyle L^{2))$.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)g^{*}(t)dt=}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)e^{i2\pi nt}dn(\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g))(m)e^{i2\pi mt}dm)^{*}\,dt}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)e^{i2\pi nt}dn\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g))(m)^{*}e^{-i2\pi mt}dm\,dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n){\hat {g))(m)^{*}e^{-i2\pi (m-n)t}dtdndm}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n)\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {g))(m)^{*}\delta (m-n)dmdn}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(n){\hat {g))(n)^{*}dn}$

^[3]

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335.

• Integrale di Lebesgue
• Identità di Parseval
• Serie di Fourier
• Spazio Lp
• Teorema di Parseval
• Teorema di Pitagora
• Trasformata di Fourier

• (EN) Plancherel's Theorem on Mathworld

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