In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale
di dimensione pari dotato di una funzione
![{\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763dd1cb058bca48656d5b5ab45986c3ef142cad)
tale che, per ogni
in
e per ogni
in
![{\displaystyle \omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2e06de5ea3009596835622073304c761edfdd1)
![{\displaystyle \omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a222635f8f731384519acac7e91b64eb05e75f6)
![{\displaystyle \omega (v,v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9bd569276c2caf23c45ca93083d50ce40b0fdc)
per ogni
implica ![{\displaystyle v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d414a23bf4ecfa36cdd039241efc60a5bd9e0)
In altre parole,
è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio
munito della forma
si dice anche munito di struttura simplettica.
Fissata una base,
si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia
la matrice di dimensione
, con
,che rappresenta la forma bilineare
in un qualche base, ovvero
![{\displaystyle \omega (u,v)=u^{\text{T))Mv\qquad \forall \ u,v\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca434ede28a95270f4c89baaa40bb640b974045e)
Allora, dal momento che la forma
è antisimmetrica anche
lo sarà e dunque
![{\displaystyle \det W=\det W^{\text{T))=(-1)^{m}\det W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd61f89287d5cea97e928f1fde45ec9372af21a)
dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che
è invertibile vale
, e quindi dalla precedente espressione si evince che
, e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.
Dato uno spazio vettoriale simplettico
di dimensione
la base
tale che
![{\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})=0\qquad \omega (\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})=0\qquad \omega (\mathbf {e} _{i},\mathbf {f} _{j})=\delta _{ij))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff09c096e4a31b4847d0c61079fbcabedd5e122b)
per ogni
è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene
![{\displaystyle \omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{\text{T))J\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e796c93edee000a5398f4bcd0ca189dad8df9d7)
dove
è la matrice a blocchi data da
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}\mathbf {0} _{n}&\mathbf {I} _{n}\\-\mathbf {I} _{n}&\mathbf {0} _{n}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65113286e400f0e63b3497d27c9ae0cab155de99)
detta matrice unità simplettica.
La matrice
soddisfa alcune proprietà, quali
![{\displaystyle J^{2}=-\mathbf {I} _{2n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb19f0abfb12b766e13366b0aa7a7cde97b07a5d)
![{\displaystyle J^{\text{T))=J^{-1}=-J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839992e720e3c8988c6a4c8d62be7a24e2941b6)
![{\displaystyle \det J=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45abdf01dc55505842fda69a123c7e267807af54)
Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.
Dato uno spazio vettoriale simplettico
ed un suo sottospazio vettoriale
, possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di
come
![{\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {u} \in V{\mbox{ tali che ))\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\ \forall \ \mathbf {v} \in W\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6ac5a9a35a906cec7b6021f1f1e77da644ebec)
Allora il sottospazio
si dice
- Isotropo se
![{\displaystyle W\subset W^{\perp ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbf2d552073547b6896905f217f1343761e18cd)
- Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se
![{\displaystyle W=W^{\perp ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d916e01219e9fb8acb21bb1d6f6be96b64d6f75d)
- Coisotropo se
![{\displaystyle W\supset W^{\perp ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e784d718619ebad4ccf683ae8c6e957dfc234178)
Se
, allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra
e
, quella degli spazi coisotropi tra
e
e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente
.
La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani
![{\displaystyle \omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\qquad \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W{\mbox{ isotropo o lagrangiano))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47c7e69fa37322478a0ad7d140e4a5834394f98)
Dato lo spazio vettoriale
dotato della forma simplettica standard, il sottospazio
è lagrangiano.
Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici
e
è un isomorfismo lineare
tale che
.
In altre parole, questo significa che se vale
![{\displaystyle \omega _{2}(\phi (\mathbf {u} ),\phi (\mathbf {v} ))=\omega _{1}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076a1b8c1e29a04055fc62fd43699e84e020c307)
per ogni coppia di vettori
, allora
è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.
Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico
di dimensione
, questo è simplettomorfo a
, dove
è la forma simplettica standard.
- Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, capitolo 3, London ISBN 0-8053-0102-X.
- Dusa McDuff e D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.