Un arco di un cerchio della stessa lunghezza del raggio dello stesso cerchio corrisponde a un angolo di 1 radiante. Un cerchio intero corrisponde a un angolo di 2π radianti.Alcuni angoli misurati in radianti
Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, quella del raggio della circonferenza, quella della circonferenza e l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:
Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.
Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].
Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.
Essendo la lunghezza della circonferenza pari a e il raggio lungo , l'angolo di un cerchio equivale a .
Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:
La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.
Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione
e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste
Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.