In matematica, il concetto di numero multiperfetto è la generalizzazione di quello di numero perfetto.
Dato un numero naturale
un numero
è chiamato
-perfetto se e solo se la somma di tutti i divisori di
(la funzione divisore
) è uguale a
un numero è dunque perfetto se e solo se è 2-perfetto. Un numero che è
-perfetto per un qualche
è chiamato genericamente numero multiperfetto. A luglio 2004 è noto che esistono numeri
-perfetti per ogni valore di
fino a 11.
Può essere dimostrato che:
- Per un dato numero primo
se
è
-perfetto e
non divide
allora
è
-perfetto. Questo implica che se un intero
è un numero 3-perfetto divisibile per 2 ma non per 4, allora
è un numero perfetto dispari. Siccome si ritiene assai improbabile che esistano numeri perfetti dispari, risulta verosimile che i numeri 3-perfetti siano tutti multipli di 4.
- Se
è
-perfetto e 3 non divide
allora
è
-perfetto.
La seguente tabella mostra i più piccoli numeri
-perfetti per
[1]:
k |
Numero k-perfetto più piccolo |
Scoperto da
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1 |
1 |
sconosciuto
|
2 |
6 |
sconosciuto
|
3 |
120 |
sconosciuto
|
4 |
30.240 |
René Descartes, 1638 circa
|
5 |
14.182.439.040 |
René Descartes, 1638 circa
|
6 |
154.345.556.085.770.649.600 |
R.D. Carmichael, 1907
|
7 |
141.310.897.947.438.348.259.849.402.738.485.523.264.343.544.818.565.120.000 |
T.E. Mason, 1911
|