In matematica, i numeri di Stirling sono delle quantità che si incontrano in vari campi della combinatoria. Prendono il loro nome dal matematico James Stirling.
I numeri di Stirling di prima specie (s minuscola) sono definiti come i coefficienti dello sviluppo polinomiale del fattoriale decrescente di x con n fattori:
I numeri di Stirling di prima specie senza segno sono definiti invece da
e rappresentano il numero di possibili permutazioni di n elementi in k cicli disgiunti.
Sono talvolta scritti con la notazione alternativa .
I numeri di Stirling di seconda specie (S maiuscola) sono definiti come il numero di possibili k-partizioni (cioè partizioni fatte da k insiemi) di un insieme di cardinalità n. Valgono le relazioni:
e
L'immagine mostra un esempio di funzione suriettiva tra due insiemi: il primo di cardinalità n=8 e il secondo di cardinalità k=3. La funzione è stata costruita partizionando in 3 blocchi l'insieme di 8 ed associando ad ogni blocco uno dei 3 elementi del secondo insieme.
Inoltre, è possibile ricavare una formula esplicita per calcolare numeri di Stirling di seconda specie. Si può infatti osservare che il numero di funzioni suriettive da un insieme di cardinalità n ad uno di cardinalità k può essere individuato partizionando il dominio (di cardinalità n) in k blocchi e associando ad ognuno di questi blocchi uno dei k elementi del codominio (e ciò si può fare in k! modi). Così si ricava la formula:
Sono talvolta scritti in notazione alternativa come o . Come per la prima specie, l'idea di usare parentesi, in analogia con il coefficiente binomiale, è venuta per la prima volta a Jovan Karamata nel 1935 ed è stata supportata poi da Donald Knuth; è per questo nota come "notazione Karamata".
I numeri di prima e seconda specie sono legati dalle relazioni
e
dove è il delta di Kronecker. Queste relazioni possono essere interpretate come segue: la matrice è l'inversa della matrice , e analogamente la matrice è l'inversa della matrice .
Abramowitz e Stegun inoltre hanno dato le seguenti formule che legano tra loro i due tipi di numeri: