In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.
Per ogni primo dispari
, sia
un intero coprimo con
. Si considerino gli interi:
![{\displaystyle a,2a,3a,\ldots ,{\frac {p-1}{2))a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d90f793337e4b6c6fccc2c97ee5a6ca6d27634)
e i loro residui modulo
ridotti nell'intervallo
. Sia
il numero di questi residui che sono negativi. Allora:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)=(-1)^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b2adfd45df3cab552583874c518593c0df665d)
dove
è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.
Per il criterio di Eulero si sa che
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)=a^{\frac {p-1}{2)){\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee13280465aeb18fcb95a86ae38e15c31f82a3c)
moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)\left({\frac {p-1}{2))\right)!=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2))an{\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1efccdc0457e492fc2a7f0b50b537610b0a8135)
consideriamo adesso i residui di
ridotti nell'intervallo
. Allora:
- non ci sono due residui uguali; infatti se
![{\displaystyle ak_{1}=ak_{2}{\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c28a85ff42888c69ade388aa0a92fe3293f4652)
- allora
, ed essendo
, ciò e possibile solo se ![{\displaystyle k_{1}=k_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3983540f17a76ba3a0069d0975f157b1b786c8b1)
- non ci sono due residui opposti; infatti se
![{\displaystyle ak_{1}=-ak_{2}{\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daf84ada8b3d8eb5da10e1a030d7e62db73f8ab)
- allora
ma essendo
ciò è impossibile.
Di conseguenza i valori assoluti dei residui
sono tutti diversi e nell'intervallo
, dunque per il prodotto di detti residui vale
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2))an=\left({\frac {p-1}{2))\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f064491030804b64cf45e6111c30a0959fa2ef3)
dove
è il numero dei residui negativi, quindi
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)\left({\frac {p-1}{2))\right)!=\left({\frac {p-1}{2))\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b025fa7b4c63743fca62a413e5af3cd07fb94a)
e semplificando per il fattoriale di
si ottiene la tesi:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p))\right)=\left(-1\right)^{s))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a228a784799830c7e16df690653b00b7fb192b)
- Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
- Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
- Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.