In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).
Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Se
è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura
, allora:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea4fc9e6b00f3ca01ff4a54ce03fa65dff86202)
Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.
Sia
il limite inferiore della successione
. Per ogni intero
si definisca la funzione:
![{\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6312dae016a55c65adf06dedfa0ddc4053645de8)
cioè:
![{\displaystyle g_{1}=\inf {\left\{f_{1},f_{2},f_{3},\dots \right\))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c79d1a2dce6f71797d3138dfb4118f741a6dff)
![{\displaystyle g_{2}=\inf {\left\{f_{2},f_{3},f_{4},\dots \right\))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcf4ad1b70b7a424d121bb084a660efb8aa4e79)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
![{\displaystyle g_{n}=\inf {\left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc7c8f7c2be8ada8cc156f5e65fe57d8d2130e9)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
Allora la successione
è tale che:
![{\displaystyle 0\leq g_{1}\leq g_{2}\dots \leq g_{n}\dots \qquad g_{k}\uparrow \liminf _{n\to \infty }f_{n}\qquad g_{k}\leq f_{k}\qquad \forall k\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/effdb124e4f6844677b87f052ca4638257e85e1b)
Se
, allora
, dunque:
![{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a4924c5294eda32ae423f33f0e4d8dfbb98b77)
quindi:
![{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4523d9ac8637a85d35193eeae9be77221f3cbe51)
Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1834dc3458ce5ccd25408607dbe2f0b106a5f88)
Si definisca sullo spazio
una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.
![{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\mbox{per ))x\in (0,1/n)\\0&{\mbox{altrimenti))\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67819e97c2a897c518e5d21ca9084757b5ad46cb)
- Sia
l'insieme dei numeri reali e si definisca:
![{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{n))&{\mbox{per ))x\in [0,n]\\\\0&{\mbox{altrimenti))\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33802cb49ce7043e935b16f373cf24eae082b5f1)
Queste successioni
convergono su
puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni
ha integrale uguale a
.
Sia
una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a
esteso definita su uno spazio di misura
. Se esiste una funzione non negativa
, misurabile e con
su
, tale che
per ogni n, allora:
![{\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96525c83797863b65371107e2e78847726a90442)
Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da
.
Sia
una successione di funzioni misurabili a valori in
esteso definita su uno spazio di misura
. Se esiste una funzione non negativa e integrabile
su
tale che
per ogni n, allora:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea4fc9e6b00f3ca01ff4a54ce03fa65dff86202)
Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da
.
Se la successione
appena presentata converge puntualmente ad una funzione
quasi ovunque su
, allora:
![{\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c125184b9ebd3e052a68a3d32101933f99ea20e)
Infatti, si osservi che
ha lo stesso limite inferiore delle
quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.
L'ultima affermazione vale anche se la successione
converge in misura ad una funzione
. Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k))\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c1a954c6726e5f7f69b7684eeff5fa38da75a6)
Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a
, esiste una nuova successione, che converge puntualmente a
quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.
Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali
definite su uno spazio di probabilità
, con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.
Sia
una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità
e sia
una sotto-σ-algebra. Allora:
![{\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G)){\Big ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c48d9f24a84572dfc688380be23e5ac601b3bc7)
quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.
Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.
Sia
il limite inferiore di
. Per ogni intero
si definisca la variabile:
![{\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589a92ad449fd2901f2b6b4d098dbbc05482c08b)
Allora la successione
è crescente e converge puntualmente a
.
Per
, si ha
, e quindi:
![{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G))]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd15e3d821a0f491c35bfd91bb4b04b60495f8e8)
quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:
![{\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G))]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481d0cb7fa37d3ed031861b08f376014073a488b)
quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.
Usando la definizione di
, la sua rappresentazione come limite puntuale di
, il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G)){\Big ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G))]=\mathbb {E} {\Big [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G)){\Big ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G))]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]\end{matrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bed92a9e5df912eef21935714380a1839ba557)
quasi certamente.
Sia
una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità
e sia
una sotto σ-algebra. Se le parti negative:
![{\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\}\qquad n\in {\mathbb {N} ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2c149df4c4ba890e45e0192d9867a4e288a148)
sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per
esiste
tale che:
![{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\))\,|\,{\mathcal {G)){\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2577a00b2d3e62901598fcadd4146af96f151a95)
quasi certamente, allora:
![{\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G)){\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbb19baf5d2e0f4d41888ae4d9c672d3c7a5e17)
quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:
![{\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9821ab7e72c280f8228ab8252609f0b6271e04)
soddisfa:
![{\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G))]=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2707b593571f35984f43a69ae28810b4386bf3cf)
il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.
Sia
. A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste
tale che:
![{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\))\,|\,{\mathcal {G)){\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2577a00b2d3e62901598fcadd4146af96f151a95)
quasi certamente. Dato che:
![{\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25f7d43875562996a2a95b5a06a2f07c245fd1e)
dove
denota la parte positiva di
, la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:
![{\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G))]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G)){\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056803e9e5c572104ae04c98873a5e33c33bb637)
quasi certamente. Dal momento che:
![{\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb7d55f0d2efd8a5d7a449556afc95325a75b5d)
si ha:
![{\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G))]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G))]+c+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa7f3be707683be21d72e527004ea74bcfb8d8a)
quasi certamente, e quindi:
![{\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G))]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G))]+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc8a8e0b8aedbc2fa652b9239cbd97396ebd467)
quasi certamente. Questo prova l'asserto.
- H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.