In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo.
Il concetto di gruppoide è stato introdotto da Heinrich Brandt nel 1927[1]; spesso quindi tale entità viene chiamata gruppoide di Brandt.
Successivamente, inspirandosi alla teoria classica dei gruppi di Lie, in geometria differenziale è stata sviluppata una nozione di gruppoide dotato di una struttura differenziale compatibile, detto gruppoide di Lie.[2][3]
In senso algebrico, un gruppoide è definito come un insieme
munito di una funzione parziale
e di una funzione totale −1 che soddisfano le seguenti condizioni per ogni
e
in
:
è associativa, cioè se esistono sia
che
, allora
e
sono definite e coincidono;
e
sono sempre definite;
- Se
è definita, allora
e
(non è necessario specificare che sono definite, in quanto ciò segue banalmente dalle prime due condizioni).
In senso categoriale, un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i morfismi sono invertibili. Denotando
e
, rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti mappe di struttura:
- Una mappa sorgente
, che associa ad ogni morfismo
il suo oggetto sorgente ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
- Una mappa bersaglio
, che associa ad ogni morfismo
il suo oggetto bersaglio ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
- Una moltiplicazione parziale
, che associa a due morfismi compatibili
e
la loro composizione ![{\displaystyle g_{2}\cdot g_{1}\colon x\to z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84848d8de1493957fdf0c8316b5c008edda9bb6c)
- Una mappa unità
, che associa ad ogni oggetto
il morfismo identità ![{\displaystyle \mathrm {id} _{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f3d09c6ea5f8519a31d1537f281f21d10077da)
- Una mappa inversione
, che associa ad ogni morfismo
il suo inverso ![{\displaystyle g^{-1}\colon y\to x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f310273d9a9ae96e42043b8001ca7b6c77eba0)
Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da
(le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).
Dato un gruppoide
, si definisce orbita attraverso
l'insieme
degli elementi di
che si collegano ad
tramite un morfismo di
. Le orbite di un gruppoide formano una partizione di
; un gruppoide è detto transitivo se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di
possono essere da morfismi.
L'insieme
dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a
è detto gruppo di isotropia in
, e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti
e
sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia
e
sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di isotropia di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.
I concetti di morfismo di gruppoidi e di sottogruppoide sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.
Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:
- Ogni gruppo
è un gruppoide
con un solo oggetto.
- Dato un insieme
, il gruppoide unità
è il gruppoide con
e moltiplicazione triviale.
- Dato un insieme
, il gruppoide coppia
è il gruppoide con sorgente
, bersaglio
e moltiplicazione ![{\displaystyle (x,y)\cdot (y,z)=(x,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e94ac9daff1c2cc4a03df29b56629f89cc5f18)
- Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo
su un insieme
il gruppoide di azione
è definito sorgente
, bersaglio
e moltiplicazione ![{\displaystyle (h,g\cdot x)\cdot (g,x)=(hg,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8474ba7faf57800b3c62a84a52cfddeeedae28d8)
Un gruppoide topologico è un gruppoide
in cui
e
sono spazi topologici, le mappe di struttura sono continue, e le mappe sorgente e bersaglio sono aperte. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo topologico.
Analogamente, un gruppoide di Lie è un gruppoide topologico
in cui
e
sono varietà differenziabili, le mappe di struttura sono lisce, e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo di Lie. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo algebroide di Lie, che generalizza il concetto di algebra di Lie.[4]
Un gruppoide di Lie
può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà
con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione[5]. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in geometria simplettica e geometria di Poisson[6][7][8] e in teoria delle foliazioni[9].
- ^ (DE) H. Brandt Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes Mathematische Annalen 96, 1927, 360-366[collegamento interrotto]
- ^ Mackenzie, K. (Kirill), Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry, Cambridge University Press, 1987, ISBN 978-1-107-36145-4, OCLC 839305395. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ Mackenzie, K. (Kirill), General theory of lie groupoids and lie algebroids, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-1-107-32588-3, OCLC 841393151. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ Marius Crainic e Rui Fernandes, Integrability of Lie brackets, in Annals of Mathematics, vol. 157, n. 2, 1º marzo 2003, pp. 575–620, DOI:10.4007/annals.2003.157.575. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ (EN) Yvette Kosmann-Schwarzbach, Multiplicativity, from Lie groups to generalized geometry, in Banach Center Publications, vol. 110, 2016, pp. 131–166, DOI:10.4064/bc110-0-10. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ Alan Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 16, n. 1, 1º gennaio 1987, pp. 101–105, DOI:10.1090/s0273-0979-1987-15473-5. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ (EN) Alan Weinstein, Coisotropic calculus and Poisson groupoids, in Journal of the Mathematical Society of Japan, vol. 40, n. 4, 1988-10, pp. 705–727, DOI:10.2969/jmsj/04040705. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ (EN) Marius Crainic e Rui Loja Fernandes, Integrability of Poisson Brackets, in Journal of Differential Geometry, vol. 66, n. 1, 2004-01, pp. 71–137, DOI:10.4310/jdg/1090415030. URL consultato l'8 febbraio 2020.
- ^ Moerdijk, Ieke e Mrc̆un, Janez, Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-511-06307-5, OCLC 57254299. URL consultato l'8 febbraio 2020.