In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.
Il gruppo modulare è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma
dove , , e sono interi e . L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.
Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale quozientato con il suo centro , dove è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo , che consiste nelle matrici
dove , , e sono interi, e le matrici e sono considerate uguali.
Le trasformazioni
generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di e .
Geometricamente rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta , mentre rappresenta la traslazione unitaria a destra.
I generatori e soddisfano le relazioni e . Si dimostra[1] che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione