La geometria epipolare è la geometria della visione stereoscopica. Essa descrive le relazioni e i vincoli geometrici che legano due immagini 2D della stessa scena 3D catturata da due fotocamere con posizione e orientamento distinto.
Immaginiamo di voler fotografare un elemento nello spazio 3D nel punto X tramite due fotocamere centrate in OL e OR. Il punto in questione verrà rispettivamente proiettato sul piano immagine della fotocamera sinistra in xL e in xR nel piano immagine della fotocamera destra.
La proiezione del punto X sul piano immagine delle rispettive fotocamere avviene tramite una trasformazione proiettiva PL (e PR) ovvero una matrice che tiene conto della posizione, dell'orientamento e dei parametri formali della rispettiva fotocamera. La relazione può essere espressa matematicamente come
Poiché i centri OL e OR di ogni camera sono in posizioni distinte è possibile proiettare l'uno sul piano immagine dell'altro.
I due punti eL e eR prendono il nome di epipoli o punti epipolari.
Il punto xL può essere visto come l'intersezione della retta passante per OL e X, chiamata raggio di proiezione, con il piano immagine della fotocamera sinistra.
Immaginiamo quindi di proiettare tale retta sul piano immagine destro. Poiché la trasformazione proiettiva è un omografia se il raggio di proiezione collega X con OL allora la sua proiezione collegherà le proiezioni dei due punti. Ovvero sarà la retta passante per xR e la proiezione di OL, ovvero proprio il punto epipolare destro eR. Esprimendo i due punti in coordinate omogenee la retta può essere espressa come
Tale retta prende il nome di retta epipolare. Lo stesso ragionamento può essere fatto analogamente con i raggi di proiezione della camera destra.
Come interpretazione alternativa consideriamo il piano su cui giacciono i punti X, OL e OR. Questo piano prende il nome di piano epipolare. Il piano epipolare associato ad un punto X intercetta i piani immagine esattamente nelle rette epipolari associate a X. Tutti i piani epipolari si incontrano nella retta che unisce i due epipoli che prende il nome di linea di base.
La geometria epipolare ricopre un ruolo fondamentale nella ricostruzione di una scena tridimensionale a partire da una coppia di immagini stereoscopiche. La ricostruzione avviene tramite i seguenti passi:
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