In matematica si dice funzione omogenea di grado
una funzione tale che quando si moltiplica per un certo numero
ogni sua variabile, il suo valore si calcola moltiplicando per
la funzione calcolata negli argomenti originari (cioè senza
).
Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1, quando tutti i suoi membri sono moltiplicati per un certo numero
, il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero
. Se
si parla di funzioni linearmente omogenee.
Le funzioni omogenee (in particolare i polinomi omogenei) sono fondamentali in geometria algebrica, poiché per definire il luogo degli zeri di un polinomio in uno spazio proiettivo occorre che tale insieme sia invariante rispetto al sistema di coordinate omogenee scelto. Ciò è garantito dai polinomi omogenei: infatti se per una certa scelta delle coordinate il polinomio si annulla nel punto, grazie alla proprietà di omogeneità si annullerà anche in ogni multiplo di tale punto, cioè in ogni altra possibile rappresentazione.
Questo concetto ha fruttuose applicazioni anche in economia, visto che molte funzioni di produzione sono omogenee di grado 1 (cioè hanno rendimenti di scala costanti) o zero. Supponiamo che un consumatore scelga i beni da acquistare, a seconda del reddito e dei prezzi, tra tutti i panieri che si può permettere, e a seconda delle sue preferenze. Possiamo allora vedere la domanda come una funzione dei prezzi e del suo reddito. Questa funzione si dimostra essere omogenea di grado 0: se tutti i prezzi e il reddito del consumatore vengono moltiplicati per
, la domanda di beni del medesimo consumatore resta la stessa (legge di omogeneità, in assenza di illusione monetaria).
In fisica, le funzioni omogenee sono fondamentali per la teoria dei fenomeni critici, in particolare per la teoria dello scaling e per il gruppo di rinormalizzazione.
In termodinamica chimica sono funzioni omogenee di grado 1, le funzioni entropia
energia interna
entalpia
energia libera di Helmholtz
e energia libera di Gibbs
Se
con
, una funzione
definita su un cono di
si dice funzione (positivamente) omogenea di grado
se per ogni scelta di variabili
si ha
![{\displaystyle f(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98654e6b5a6368b5c217dcd930db9862b720d22)
Si dice omogenea una funzione per cui la relazione sopra valga per ogni
.
Se tutte le variabili sono nulle si ha necessariamente
![{\displaystyle \ f(0,\ldots ,0)={\alpha }^{k}f(0,\ldots ,0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb8003df669e95c217a7517310884480e656136)
La funzione nulla è l'unica funzione omogenea di grado
per ogni
reale.
La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a funzionali definiti in spazi vettoriali qualsiasi a valori nel rispettivo campo. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di "positività" degli elementi del campo, cioè esso deve essere un campo ordinato.
Sia
una funzione omogenea di grado
e parzialmente derivabile, allora vale la seguente proposizione:
- Ogni derivata parziale
con
è una funzione omogenea di grado ![{\displaystyle k-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21363ebd7038c93aae93127e7d910fc1b2e2c745)
Dimostrazione:
Derivando rispetto alle
entrambi i membri dell'identità seguente
![{\displaystyle f(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3ee574c9b2b22649fc674446b9c7419359adde)
si ottiene
![{\displaystyle \alpha f_{x_{i))(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k}f_{x_{i))(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe6fbf9438f6a0d98e1ac2ed8168d567a02fa3)
Dividendo entrambi i membri per
si ottiene l'asserto
![{\displaystyle f_{x_{i))(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k-1}f_{x_{i))(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d767ff7333d3d5d9ea9cd9938f8cb943681c842)
Sia
una funzione differenziabile su un cono aperto
. Allora
è omogenea di grado
su
se e solo se vale l'identità detta identità di Eulero:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i))}\ x_{i}=k\ f(x),\quad \forall x\in A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6777b453f3a7cab8f3786b2e9ec54905a8c25af)
il primo membro è esattamente il prodotto scalare
.
Applichiamo prima la sostituzione
ottenendo
![{\displaystyle f({x'}_{1},\ldots ,{x'}_{n})={\alpha }^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb834efdfc72a3145ed6137044ebe00e5e9b93a)
Differenziando ora rispetto ad
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x'}_{i))}{\frac {\partial {x'}_{i)){\partial \alpha ))=k{\alpha }^{k-1}f(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821ca4be91c7a3f7f1e4d69d6ee1520a3aa42cf3)
Utilizziamo ora le derivate delle
![{\displaystyle {\frac {\partial {x'}_{i)){\partial \alpha ))=x_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9448a622ba67a1621e2a1d204a2ec73fa0b2978)
ottenendo
vera per ogni ![{\displaystyle \alpha >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57aa889a319406b4cea37c3845dcbd4df0300425)
In particolare ponendo
si ottiene
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}x_{i}=kf(x_{1},\ldots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d52c69faeef11b3a6775887379aafa9ffd3383a)
Per
consideriamo la funzione
definita da
![{\displaystyle F(t)={\frac {f(tx)}{t^{k))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331fb0fa016b006ea9daa2d9c0fcbf9054739b04)
Si vede chiaramente che la funzione
è omogenea di grado
se e solo se la funzione
è costante e uguale a
all'interno di tutto il suo dominio. Dal teorema di Lagrange ciò avviene se e solo se la derivata prima di
è identicamente nulla in tutto il suo dominio
. Per ipotesi
è differenziabile dunque vale il teorema di derivazione delle funzioni composte e applicando la formula si ottiene:
![{\displaystyle F'(t)={\frac {1}{t^{2k))}\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i))))(tx)x_{i}t^{k}-kt^{k-1}f(tx)\right]={\frac {1}{t^{k+1))}\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i))))(tx)x_{i}t-kf(tx)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcab52fdb7b8e4ac5cbdb1d7f96bf93ef7d237d)
Imponendo la condizione di funzione costante otteniamo:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i))))(tx)x_{i}t=kf(tx),\quad \forall x\in A,\forall t>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b77a1a9b6b5f7aae6706d2d493ae04968c5dca)
Sfruttando la proprietà che
è un cono in
si ha che
se e solo se
dunque a patto di cambiare
con
possiamo riscrivere la precedente condizione come:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i))))(x)x_{i}=kf(x),\quad \forall x\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080f112a52b6073e0eae5f5ba926843b3b688b08)
che altro non è che l'identità di Eulero.