In matematica, l'equazione differenziale di Bernoulli è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

Ridotta in forma canonica, si rappresenta come:

${\displaystyle y'+f(x)y=g(x)y^{n))$

con ${\displaystyle n}$ costante. Se ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ e:

${\displaystyle \left\((\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\qquad \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\}\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\qquad \alpha =2\\\end{array))\right.}$

è una soluzione dell'equazione lineare:

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)}$

allora si ha che ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha ))}$ è una soluzione di:

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\qquad y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha ))}$

e ogni equazione di questo tipo ha una soluzione ${\displaystyle y\equiv 0}$ per ${\displaystyle y_{0}=0}$ per ogni ${\displaystyle \alpha >0}$.

Il metodo di risoluzione fu trovato da Jakob Bernoulli I. Per ${\displaystyle n=1}$ o ${\displaystyle n=0}$ l'equazione è riconducibile immediatamente alla soluzione generale delle equazioni lineari del primo ordine. Il metodo risolutivo generale, con n reale qualunque richiede di dividere l'equazione per ${\displaystyle y^{n))$ (tenendo conto del fatto che, per ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle y=0}$ rappresenta una soluzione del primo tipo, e che invece per ${\displaystyle n<0}$ la funzione ${\displaystyle y}$ deve essere necessariamente diversa da 0 per la condizione di esistenza della funzione che la definisce), ottenendo:

${\displaystyle {\frac {1}{y^{n))}{\frac {dy}{dx))+{\frac {f(x)}{y^{n-1))}=g(x)}$

Si effettua poi la sostituzione ${\displaystyle w=1/y^{n-1))$, da cui:

${\displaystyle w'={\frac {1-n}{y^{n))}{\frac {dy}{dx))}$

si ha:

${\displaystyle {w'}+w(1-n){f(x)}=(1-n)g(x)}$

che rientra nel caso generale delle equazioni di primo grado. Riscrivendo come:

${\displaystyle {w'}=w(n-1){f(x)}+(1-n)g(x)=F(x)w+G(x)}$

e integrando, si ottiene:

${\displaystyle w=e^{\int {F))\left(\int {Ge^{-\int {F))}+c\right)}$

da cui poi si ricava la ${\displaystyle y}$.

Una variante consiste nel sostituire direttamente:

${\displaystyle y=z^{\frac {1}{1-n))}$

nell'equazione:

${\displaystyle y'=-f(x)y+g(x)y^{n))$

in modo che si ha:

${\displaystyle z'=(1-n)y'y^{-n))$

da cui:

${\displaystyle y'=z'{\frac {y^{n)){1-n))}$

quindi sostituendo e semplificando:

${\displaystyle z'=(1-n)[-f(x)z+g(x)]}$

Sia dato:

${\displaystyle y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x}$

dividendo si ha:

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{-2))}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3))}=\operatorname {sin} x}$

ponendo ${\displaystyle w={\frac {1}{y^{-3))))$:

${\displaystyle w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x}$

e integrando:

${\displaystyle w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2))e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2))+Ce^{6\operatorname {cos} x))$

Ricordando che ${\displaystyle w=y^{3))$, l'unica radice reale per ${\displaystyle y}$ è:

${\displaystyle y={}^{3}{\sqrt ((\frac {1}{2))+Ce^{6\operatorname {cos} x))))$

• (EN) Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 5th ed. New York: Wiley, p. 28, 1992.
• (EN) Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, p. 22, 1956.
• (EN) Rainville, E. D. and Bedient, P. E. Elementary Differential Equations. New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964.
• (EN) Simmons, G. F. Differential Equations, With Applications and Historical Notes. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

• Equazione di Riccati
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale ordinaria

• Bernoulli, equazione differenziale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione differenziale di Bernoulli, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Equazione differenziale di Bernoulli, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) SosMath, su sosmath.com.
• (EN) Lamar University, su tutorial.math.lamar.edu.

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